Question

Equação Exponencial →
A)3ˣ⁻¹ + 3ˣ⁻² = 28
B)2ˣ⁺³ = 2ˣ⁻² + 62
C)3ˣ⁻¹ 3ˣ + 3ˣ⁺¹ = 13/27

Com calculo →

Answer 1

Olá.

a)

3^(x-1) + 3^(x-2) = 28

Colocando o fator comum em evidência:

3^(x - 2) x (3 + 1) = 28
3^(x - 2) x 4 = 28
3^(x - 2) = 7
log 3^(x - 2) = log 7
x - 2 × log(3) 3 = log(3) 7
x - 2 = log(3) 7
x = (log(3) 7) + 2

b)

2^(x + 3) = 2^(x - 2) + 62
2^(x + 3) - 2^(x - 2) = 62
2^(x - 2) x (2^5 - 1) = 62
2^(x - 2) x 31 = 62
2^(x - 2) = 2
2^(x - 2) = 2^1
x - 2 = 1
x = 3

c)

3^(x - 1) + 3^(x) + 3^(x + 1) = 13/27
(1 + 3 + 3^2) x 3^(x - 1) = 13/27
13 x 3^(x - 1) = 13/27
3^(x - 1) = 13/27/13/1
3^(x - 1) = 1/27
3^(x - 1) = 3^-3
x - 1 = -3
x = -2



Bons estudos.

Answer 2

Olá.

 

Para responder e desenvolver essas expressões, vamos usar algumas propriedades de potências,

 

 

PROPRIEDADES DE POTÊNCIAS

 

Multiplicação de potências com a mesma base. Quando há uma multiplicação de potências com a mesma base, seguimos a regra: manter a base e somar o expoente.

Para visualizar melhor, segue um exemplo:

$\mathsf{a^r\cdot a^s=a^{r+s}}$

 

O contrário também pode ser feito:

$\mathsf{a^{m+n}=a^m\cdot a^n}$

 

Divisão de potências com a mesma base. Quando há uma divisão de potências com a mesma base, seguimos a regra: mantemos a base e subtraímos o expoente.

$\mathsf{\dfrac{a^r}{a^s}=a^{r-s}}$

 

O contrário também pode ser feito:

$\mathsf{a^{q-w}=\dfrac{a^q}{a^w}}$

 

Aplicando as regras citadas, vamos aos cálculos.

 

 

QUESTÃO A

Temos a expressão:

$\mathsf{3^{x-1}+3^{x-2}=28}$

 

Aplicando a regra de divisão de potências da mesma base, teremos:

$\mathsf{3^{x-1}+3^{x-2}=28}\\\\\mathsf{\dfrac{3^x}{3}+\dfrac{3^x}{3^2}=28}\\\\\\\mathsf{\dfrac{3^x}{3}+\dfrac{3^x}{9}=28}$

 

O MMC de 3 e 9 é 9, logo, podemos igualar os denominadores das frações.

$\mathsf{\dfrac{3^x}{3}+\dfrac{3^x}{9}=28}\\\\\\\mathsf{\dfrac{3\cdot3^x+3^x}{9}=28}$

 

O 9 pode ser levado para o 2° membro, mas multiplicando, pois a operação é invertida quando troca de membro.

$\mathsf{\dfrac{3\cdot3^x+3^x}{9}=28}\\\\\mathsf{3\cdot3^x+3^x=28\cdot9}\\\\\mathsf{3\cdot3^x+3^x=252}$

 

No primeiro membro, é possível observar que temos o 3ˣ duas vezes, onde um está sendo multiplicado por 3. Para simplificar, podemos colocar o 3ˣ em evidência.

$\mathsf{3\cdot3^x+3^x=252}\\\\\mathsf{3^x\cdot(3+1)=252}\\\\\mathsf{3^x\cdot(4)=252}$

 

O 4 pode ser levado para o 2° membro, mas dividindo, pois o sinal é invertido.

$\mathsf{3^x\cdot(4)=252}\\\\\mathsf{3^x=\dfrac{252}{4}}\\\\\\\mathsf{3^x=63}$

 

Usando apenas as propriedades de potências, não temos mais o que fazer. Todo modo, podemos continuar a calcular usando logaritmos;

 

Para resolver em logaritmos usamos a forma:

$\mathsf{log_b~x=y,~~~b^y=x}$, onde:

b: base;

x: logaritmando;

y: logaritmo.

 

Basicamente, podemos dizer que o logaritmo é o expoente que está no número igual a base. Esse número pode ser obtido através da fatoração do logaritmando. Contextualizando em nosso caso, teremos:

log₃ 63 = y

 

Vamos fatorar 63, para saber quais números o compõe:

$\begin{array}{llll}63&|&3\\21&|&3\\7&|&7\\1&|&=&3^2\cdot7\end{array}$

 

Usando o valor que obtemos fatorando, podemos adicioná-lo no cálculo do logaritmo.

log₃ 63 =

log₃ (3² • 7)

 

Podemos dividir essa expressão em dois, pois o logaritmando está fatorado e com seus componentes sendo multiplicados entre si. Teremos:

log₃ (3² • 7) =

log₃ (3²) + log₃ (7)

 

Para o primeiro cálculo de logaritmo, temos o valor de y:

$]\mathsf{log_b~x=y,~~~b^y=x}\\\\\mathsf{log_3~(3^2),~~\boxed{\mathsf{3^2=9}}}$

 

Substituindo o valor de log₃ (3²), teremos:

log₃ (3²) + log₃ (7) =

2 + log₃ (7)

 

2 + log₃ (7) é a forma final do desenvolvimento da expressão dada.

 

 

QUESTÃO B

Temos a expressão:

$\mathsf{2^{x+3}=2^{x-2}+62}$

 

Primeiro, vamos passar o $\mathsf{2^{x-2}}$ para o primeiro membro, só que subtraindo, pois a operação é invertida. Teremos:

$\mathsf{2^{x+3}=2^{x-2}+62}\\\\\mathsf{2^{x+3}-2^{x-2}=62}$

 

Podemos colocar um termo em evidência, que no caso é o $\mathsf{2^{x-2}}$ e continuar a desenvolver. Vamos aos cálculos:

$\mathsf{2^{x+3}-2^{x-2}=62}\\\\\mathsf{2^{x-2}(2^{x+3}/2^{x-2}-\dfrac{2^{x-2}}{2^{x-2}}=62}\\\\\mathsf{2^{x-2}(2^{x+3-(x-2)}-1)=62}\\\\\mathsf{2^{x-2}(2^{x+3-x+2}-1)=62}\\\\\mathsf{2^{x-2}(2^{3+2}-1)=62}\\\\\mathsf{2^{x-2}(2^{5}-1)=62}\\\\\mathsf{2^{x-2}(32-1)=62}\\\\\mathsf{2^{x-2}(31)=62}$

 

Passando o 31 para o segundo membro, mas dividindo, pois o sinal deve ser invertido.

$\mathsf{2^{x-2}(31)=62}\\\\\mathsf{2^{x-2}=\dfrac{62}{31}}\\\\\mathsf{2^{x-2}=2}$

 

Temos de igualar os expoentes.

$\mathsf{2^{x-2}=2^1}$

 

Podemos separar o cálculo do x:

x – 2 = 1

x = 1 + 2

x = 3

 

O valor de x é 3.

QUESTÃO C

O valor de x é -2. (resolução em anexo)

Qualquer dúvida, deixe nos comentários.

Bons estudos.