Question

Sabendo que z = x² + 5x - 50 - 10xi + 50i é imaginário puro e que x ∈ ℝ, determine:

a) O valor de x

b) z na forma algébrica


Passo a passo

Answer 1

Tomemos o complexo  z  dado, com  x ∈ ℝ:

     z = x² + 5x − 50 − 10xi + 50i


Separando parte real e parte imaginária:

     z = (x² + 5x − 50) + (− 10x + 50) · i

     z = Re(z) + Im(z) · i


     •   Parte real:   Re(z) = x² + 5x − 50;

     •   Parte imaginária:   Im(z) = − 10x + 50.


Como  z  é imaginário puro,  a parte real deve ser nula e a parte imaginária diferente de zero:

     $\left\{ \!\begin{array}{l} \mathsf{Re(z)=0}\\\\ \mathsf{Im(z)\ne 0} \end{array} \right.\\\\\\\\ \left\{ \!\begin{array}{ll} \mathsf{x^2+5x-50=0}&\quad\mathsf{(i)}\\\\ \mathsf{-10x+50\ne 0}&\quad\mathsf{(ii)} \end{array} \right.$


Resolvendo  (i):

     $\mathsf{x^2+5x-50=0}$


Podemos resolver a equação quadrática acima via fatoração por agrupamento. Reescreva  5x  como  − 5x + 10x:

     $\mathsf{x^2-5x+10x-50=0}$


Coloque  x  em evidência nos dois primeiros termos e  10  em evidência nos dois últimos termos do lado esquerdo:

     $\mathsf{x(x-5)+10(x-5)=0}$


Agora, coloque o fator  (x − 5)  em evidência:

     $\mathsf{(x-5)(x+10)=0}\\\\ \begin{array}{rcl} \mathsf{x-5=0}&~\textsf{ ou }~&\mathsf{x+10=0}\\\\ \mathsf{x=5}&~\textsf{ ou }~&\mathsf{x=-10} \end{array}$


Mas por  (ii),  devemos ter

     $\mathsf{-10x+50\ne 0}\\\\ \mathsf{-10x\ne -50}\\\\ \mathsf{x\ne \dfrac{-50}{-10}}\\\\ \mathsf{x\ne 5}$


a)  Então, o único valor possível para  x  é

     x = − 10           ✔


b)  Escrevendo  z  na forma algébrica:

     z = Re(z) + Im(z) · i

     z = 0 + [− 10 · (− 10) + 50] · i

     z = 0 + [100 + 50] · i

     z = 0 + 150i

     z = 150i    <————   esta é a forma algébrica.


Bons estudos! :-)