Question

Esboçe o gráfico e determine o domínio e o conjunto da imagem de cada função.

Por favor , me ajudem ...

Answer 1

Para determinar a imagem é necessário calcular $y_V$, que é o valor máximo ou mínimo de uma função.


a) $y=-x^2-1$

$y_V=\dfrac{-\Delta}{4a}=\dfrac{-0^2+4\cdot(-1)\cdot(-1)}{4\cdot(-1)}=\dfrac{4}{-4}=-1$

Logo, o valor máximo dessa função é $-1$, ou seja, $\text{Im}(f)=\{y\in\mathbb{R}~|~y\le-1\}$.

O domínio dessa função são todos os reais, $\text{D}(f)=\mathbb{R}$

$-x^2-1=0 \iff x^2=-1$

Não há raízes reais

O gráfico está em anexo


b) $y=x^2-8x+7$

$\Delta=(-8)^2-4\cdot1\cdot7=64-28=36$

$y_V=\dfrac{-\Delta}{4a}=\dfrac{-36}{4\cdot1}=-9$

O valor mínimo dessa função é $-9$, logo, $\text{Im}(f)=\{y\in\mathbb{R}~|~y\ge-9\}$

$y=0 \iff x^2-8x+7=0$

$\Delta=36 \iff x=\dfrac{-(-8)\pm\sqrt{36}}{2}=\dfrac{8\pm6}{2}=4\pm3$

$x'=4+3=7 \ \ \ \ x"=4-3=1$

As raízes são $7$ e $1$, o gráfico passa pelos pontos $(1,0)$ e $(7,0)$

$\text{D}(f)=\mathbb{R}$

O gráfico está em anexo.

c) $f(x)=x^2+2x+6$

$\Delta=2^2-4\cdot1\cdot6=4-24=-20$

Não há raízes reais

$y_V=\dfrac{-\Delta}{4a}=\dfrac{-(-20)}{4\cdot1}=\dfrac{20}{4}=5$

O valor mínimo dessa função é $5$, $\text{Im}(f)=\{y\in\mathbb{R}~|~y\ge5\}$

$\text{D}(f)=\mathbb{R}$

d) $y=-x^2+3x+10$

$\Delta=3^2-4\cdot(-1)\cdot10=9+40=49$

$y_V=\dfrac{-49}{4\cdot(-1)}=\dfrac{-49}{-4}=\dfrac{49}{4}$


$\text{Im}(f)=\left\{y\in\mathbb{R}~|~y\le\dfrac{49}{4}\right\}$

$y=0 \iff -x^2+3x+10=0$

$x=\dfrac{-3\pm\sqrt{49}}{2(-1)}=\dfrac{-3\pm7}{-2}$

$x'=\dfrac{-3+7}{-2}=\dfrac{4}{-2}=-2$

$x"=\dfrac{-3-7}{-2}=\dfrac{-10}{-2}=5$

$\text{D}(f)=\mathbb{R}$

e) $y=x^2-4$

$\Delta=0^2-4\cdot1\cdot(-4)=16$

$y_V=\dfrac{-16}{4}=-4$

$\text{Im}(f)=\{y\in\mathbb{R}~|~y\ge-4\}$

$y=0 \iff x^2-4=0 \iff x^2=4 \iff x=\pm2$

$\text{D}(f)=\mathbb{R}$