Question

O modelo exponencial P(t)=42.500.1,01 elevado a t, onde P(t) é a quantidade aproximada de habitantes daqui a t anos, esta sendo utilizado para estimar a população de determinada região.Segundo tal modelo,
a) qual é a quantidade atual  de habitantes dessa região?
b) qual é o percentual de aumento da população dessa região a cada ano?
c) qual deve ser a quantidade provável (e aproximada) de habitantes dessa região daqui a 5 anos?
d) quantos anos (aproximadamente) serão necessários para que a população dessa região dobre de tamanho?
OBS: Utilize 5 casas decimais nos cálculos.

Answer 1

$\bullet \ \text{P}(t) = 42500 \cdot 1,01^t$

a) Qual é a quantidade atual de habitantes nesta região?

De acordo com o enunciado, sabemos que a variável t expressa o número de anos decorridos. Com isso, sabemos que o tempo atual é expresso por t = 0, pois em relação a ele se passaram 0 anos.

$\bullet \ \text{P}(t) = 42500 \cdot 1,01^t \\ \bullet t = 0 \\\\ \text{P}(0) = 42500 \cdot 1,01^0 \\ \text{P}(0) = 42500 \cdot 1 = \boxed{\text{42500 habitantes}}$

b) Qual é o percentual de aumento de da população dessa região a cada ano?

$\bullet \ \text{P}(t) = 42500 \cdot 1,01^t \\\\ \text{P}(1) = 42500 \cdot 1,01^1 = 42925$

Ao utilizarmos t = 1 em comparação a t = 0 (população inicial), observamos que em um ano a população é multiplicada por 1,01. Este valor equivale a $\frac{101}{100}$ ou 101% do valor anterior, que significa que 100% dos habitantes existentes anteriormente são mantidos e 1% deste número de habitantes é acrescido.

Então, o percentual de aumento anual é de 1%.

Podemos comprovar este crescimento através de cálculos:

$\text{P}(0) = 42500 \\ \text{P}(1) = 42500 \cdot 1,01^1 = 42925 \\ \text{P}(2) = 42500 \cdot 1,01^2 = 43354,25 \\ ... \\\\ \bullet \text{De P(0) a P(1) (1 ano decorrido):} \\\\ \text{percentual} -------- \ \text{habitantes} \\ 100\% \ ---------- \ \ 42500 \\ x\% \ ----------- \ 42925 \\\\ 42500x = 4292500 \\ x = 101\% \rightarrow 101\% - 100\% = \boxed{1\% \ \text{de aumento}} \\\\ \circ \text{O mesmo ocorre entre P(1) e P(2), P(2) e P(3), etc.}$

c) Qual deve ser a quantidade provável (e aproximada) de habitantes dessa região daqui a 5 anos?

$\text{P}(5) = 42500 \cdot 1,01^5 \\ \text{P}(5) = 42500 \cdot 1,510100501 \approx \boxed{\text{44668 habitantes}}$

d) Quantos anos serão necessários para que a população dessa região dobre de tamanho?

$\bullet \ \text{P}(0) = 42500 \\ \bullet 2\text{P}(0) = 85000 \\\\ 85000 = 42500 \cdot 1,01^t \\\\ 1,01^t = \frac{8500}{42500} \\\\ 1,01^t = 2 \\\\ \text{log}_{1,01} \ 2 = t \\\\ t = \frac{\text{log} \ 2}{\text{log} \ 1,01} = \frac{0,30102}{0,00432} = 69,68055... \approx \boxed{\text{70 anos}}$