Question

Urgente questão....Favor responder quem realmente saiba é importante
O número complexo z = a+bi, com a e b reais,
satisfaz a equação z+IzI = 2 + 6i. Então, Ia + biI^2 é
igual a:
.

Answer 1

Pela equação, temos que:

z + |z| = 2 + 6i
(a + bi) + √(a² + b²) = 2 + 6i
a + √(a² + b²) + bi = 2 + 6i

Note que, a parte real do primeiro termo "a + √(a² + b²)" é igual a parte real do segundo termo "2".
Da mesma forma, temos que a parte imaginária do primeiro termos "bi" é igual a parte imaginária do segundo termo "6i".
Com isso, temos que:

a + √(a² + b²) = 2
bi = 6i

Pela segunda igualdade acima, temos que:

bi = 6i
b = 6

Com, o valor de "b = 6", vamos substituir o "b" da 1ª igualdade por 6. Assim, temos que:

a + √(a² + b²) = 2
a + √(a² + 6²) = 2
a + √(a² + 36) = 2
√(a² + 36) = 2 - a

Podemos elevar os dois lados da equação acima ao quadrado, sem problemas, pois como "a" está elevado ao quadrado qualquer solução para "a", teremos que o radicando será positivo. Portanto, seguimos como:

√(a² + 36) = 2 - a
(√(a² + 36))² = (2 - a)²
a² + 36 = 4 - 4a + a²
4a = 4 - 36
4a = -32
a = -32 / 4
a = -8

Logo, temos que "a = -8" e "b = 6"

Vamos determinar o que se pede.

| a + bi|² = (√(a² + b²))² = a² + b² = (-8)² + (6)² = 64 + 36 = 100

Alternativa D.