Question

12. (UFSM) Um estudante de engenharia vê um prédio do campus da UFSM construído em um terreno plano, sob um ângulo de 30°. Aproximando-se do prédio mais 40m, passa a vê-lo sob um ângulo de 60°. Considerando que a base do prédio está no mesmo nível dos olhos do estudante, então a altura H, em metros, do prédio é igual a:

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Dê a resposta em raiz..

Answer 1

Para o triângulo menor vou utilizar o tag 60º.

$\mathsf{tag~60\º= \frac{h}{x} } \\ \\ \mathsf{ \sqrt{3} = \frac{h}{x} } \\ \\ \mathsf{x= \frac{h}{ \sqrt{3} }* \frac{ \sqrt{3} }{ \sqrt{3} } = \boxed{\mathsf{\frac{ \sqrt{3}*h }{3} }}}$

Já para o triângulo maior, usamos o tag 30º

$\mathsf{tag~30\º= \frac{h}{40+x} } \\ \\ \mathsf{ \frac{ \sqrt{3} }{3}= \frac{h}{40+x} } \\ \\ \mathsf{3h= \sqrt{3}*40+ \sqrt{3}* \frac{ \sqrt{3}*h }{3} } \\ \\ \mathsf{3h= \sqrt{3}*40+ \frac{3h}{3} } \\ \\ \mathsf{9h=3*40* \sqrt{3} + 3h} \\ \\ \mathsf{6h=120* \sqrt{3} } \\ \\ \boxed{\mathbf{h=20 \sqrt{3} ~m}}~\checkmark$

Answer 2

Dados:

๏ $\mathsf{tan\:\left(30^{\circ }\right)=\frac{\sqrt{3}}{3}}$
๏ $\mathsf{tan\:\left(60^{\circ }\right)=\sqrt{3}}$

= = = = =

A distancia inicial do preio ao estudante é $\mathsf{k}$, ao andar 40 m, a distancia sera  $\mathsf{k-40}$.

= = = = =
Aplicando as relações trigonometrias nos triângulos retângulos formados, considerando que temos apenas 2 dados (cateto oposto e cateto adjacente), logo utilizaremos a tangente:

◽ $\mathsf{\Delta ABC}$:

$\mathsf{tan\left(30^{\circ }\right)=\dfrac{H}{k}}\\\\\\\mathsf{\dfrac{\sqrt{3}}{3}=\dfrac{H}{k}}\\\\\\\mathsf{H=\dfrac{k\sqrt{3}}{3}\:\:\:\:\:\:(i)}$

◽ $\mathsf{\Delta BCD}$:

$\mathsf{tan\left(60^{\circ }\right)=\dfrac{H}{k-40}}\\\\\\\mathsf{\sqrt{3}=\dfrac{H}{k-40}}\\\\\\\mathsf{H=\sqrt{3}\cdot \left(k-40\right)\:\:\:\:\:\:(ii)}$

= = = = =

Igualando as aturas i e ii:

$\mathsf{\dfrac{k \cdot \diagup\!\!\!\!\!\!\! \sqrt{3}}{3}=\diagup\!\!\!\!\!\!\!\sqrt{3}\cdot \left(k-40\right)}\\\\\\\mathsf{\dfrac{k}{3}=k-40}\\\\\\\mathsf{k=3\cdot \left(k-40\right)}\\\\\\\mathsf{k=3k-120}\\\\\\\mathsf{3k-k=120}\\\\\\\mathsf{2k=120}\\\\\\\mathsf{k=\dfrac{120}{2}}\\\\\\\mathsf{k=60\:m}$

= = = = =

Substituindo o valor de k em qualquer uma das equações (i) ou (ii):

$\mathsf{H=\dfrac{k\sqrt{3}}{3}}\\\\\\\mathsf{H=\dfrac{60\sqrt{3}}{3}}\\\\\\\mathsf{H=20\sqrt{3}}\\\\\\\mathsf{H\approx 34,64\:m}$

= = = = =

$\boxed{\mathsf{Respsota:\:A\:altura\:do\:predio\:\'{e}\:20\sqrt{3}metros}}\: \: \checkmark$