Question

Olá, boa noite. Por favor vc pode mim ajudar com essa questão? Mostre que mdc(n, 2n+1)=1, para qualquer n natural.

Answer 1

Use o Algoritmo do MDC de Euclides:

$\text{mdc}(a,b)=\text{mdc}(a,b-a\times c)$

Por exemplo: mdc(20, 90)

mdc(20, 90) = mdc(20, 90 - 20 x 4) = mdc(20, 90 - 80) = mdc(20, 10)

mdc(20, 90) = mdc(10, 20 - 10 x 2) = mdc(10, 20 - 20) = mdc(10, 0) = 10

No caso $\text{mdc}(n,2n+1)$, temos:

$\text{mdc}(n,2n+1)=\text{mdc}(n,2n+1-2n)=\text{mdc}(n,1)$

E para qualquer $\text{n}$, sabemos que $\text{mdc}(n,1)=1$.

Logo, $\text{mdc}(n,2n+1)=1$, como queríamos mostrar.