Question

Considere um barbante de comprimento 1,44 metros e o seguinte procedimento divide-se barbante em duas partes cujas medidas estão na razão de 2:1, a maior parte é deixada de lado e, com a menor parte repete-se o procedimento. Se essa experiência puder ser repetida um número infinito de vezes, qual é o valor da soma dos comprimentos de todos os pedaços de barbante que foram deixados de lado?

Answer 1

Vamos lá.

Veja: se dividirmos a medida do barbante de 1,44 metros na razão de 2/1, então vamos chamar a parte menor de "x" e a parte maior de "1,44-x".
Assim, teremos:

i) (1,44-x)/x = 2/1 ---- multiplicando-se em cruz, teremos:

1*(1,44-x) = 2*x
1,44 - x = 2x ---- passando-se "-x" para o 2º membro, temos;
1,44 = 2x+x
1,44 = 3x ---- vamos apenas inverter, ficando:
3x = 1,44
x = 1,44/3
x = 0,48 <--- Esta é a parte menor, pois a parte maior seria (1,44-x) = 1,44-0,48 = 0,96. Como a maior parte foi deixada de lado, então agora vamos  repartir a medida de "0,48".

ii) Chamando, novamente de "x" a menor parte e a maior parte de "0,48-x", teremos:

(0,48-x)/x = 2/1 ---- multiplicando-se em cruz, teremos;
1*(0,48-x) = 2*x
0,48 - x = 2x ---- passando "-x" para o 2º membro, teremos;
0,48 = 2x+x
0,48 = 3x ---- ou, invertendo-se:
3x = 0,48
x = 0,48/3
x = 0,16 <--- Esta é a menor parte, pois: seguindo-se o mesmo raciocínio do passo anterior, teríamos que a maior parte seria: 0,48 - 0,16 = 0,32, que será deixado de lado.

iii) Agora vamos fazer o mesmo com "0,16", que é a menor parte. Chamaremos a menor parte de "x" e a maior parte de "0,16-x". Assim, teremos:

(0,16-x)/x = 2/1 ---- multiplicando-se em cruz, teremos:
1*(0,16-x) = 2*x
0,16 - x = 2x ---- passando-se "x" para o 2º membro, temos:
0,16 = 3x ---- invertendo-se, temos:
3x = 0,16
x = 0,16/3  <-- Esta é a menor parte. Seguindo o mesmo raciocínio, teremos que a maior parte, que foi deixado de lado é: 0,16 - 16/3 = (3*0,16-1*0,16)/3 = (0,48 - 0,16)/3 = (0,32)/3 = 0,32/3.

iv) Bem, a pergunta é: Se essa experiência puder ser repetida um número infinito de vezes, qual seria o valor da soma dos comprimentos de todos os pedaços de barbante que foram deixados de lado?
Veja que os pedaços que, até agora,  foram deixados de lado têm as seguintes medidas:

0,96; 0,32; 0,32/3; .........

Veja que temos aí em cima uma PG infinita, decrescente, cuja razão é igual a "1/3", pois: (0,32/3) / 0,32 = 0,32/0,96 = 1/3.

E a soma de uma PG infinita é dada por:

Sn = a₁ / (1-q)

Na soma acima, basta que substituamos "a₁" por "0,96" (que é o valor do primeiro termo) e "q" por "1/3" (que é o valor da razão. Assim, a soma dos "n" primeiros termos dessa PG infinita decrescente será dada por:

Sn = 0,96 / (1-1/3)  ------ veja que 1-1/3 = 2/3. Assim, teremos:
Sn = 0,96/(2/3) ----- veja: divisão de frações, cuja regra é esta: conserva-se a primeira fração como está e multiplica-se pelo inverso da segunda. Logo:

Sn = (0,96/1)*(3/2) ----- efetuando este produto, teremos:
Sn = 0,96*3/1*2
Sn = 2,88/2 ----- note: esta divisão dá exatamente "1,44". Logo:
Sn = 1,44 <--- Esta é a resposta.

É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.