Question

simplifique a expressão:(2n+1)! / (2n-1)!

Answer 1

Pra simplificar isso, você tem que desenvolver o fatorial maior (neste caso está no numerador) até chegar no fatorial menor para poder cancelar.

O fatorial é sempre um número multiplicado por seu antecessor, multiplicado pelo antecessor do antecessor, etc até um.
O que é o antecessor. É o número que é uma unidade menor que o número em questão.
Então, o antecessor de 8 é o 7 (8 -1)
O antecessor de 2n + 1 é (2n + 1) - 1
(2n + 1) - 1 = 2n + 1 - 1 = 2n
o antecessor de 2n é 2n - 1 (cheguei no que eu queria)
Então o fatorial de 2n+1 fica
(2n+1)! = (2n+1).2n.(2n-1)! (Dá pra continuar subtraindo 1, mas se eu já cheguei no fatorial igual ao denominador eu paro pra poder cancelar)

$\frac{(2n +1)!}{(2n - 1)!} = \frac{(2n+1).2n.(2n-1)!}{(2n-1)!}$

Agora dá pra cancela (2n-1)! do numerador com (2n-1)! no denominador. sobra:
(2n+1).2n = 4n² + 2n