Question

O ângulo de lançamento ideal para que o alcance do projeto seja o máximo possível é de 45°. Justifique.

Answer 1

Obs: ignore todos os $Â$ que aparecerem... o LaTeX do site está com problemas =/...

Chamaremos o ângulo de lançamento de $\theta$, a velocidade de $V_{0}$ e a gravidade de $g$.

Decompondo $V_{0}$ em $V_{x_{0}}$ e $V_{y_{0}}$, temos:
$V_{x_{0}} = V_{0} \cos(\theta)$
$V_{y_{0}} = V_{0} \sin(\theta)$

Pressupondo que o projétil foi lançado de uma altura zero, o tempo de queda é igual ao tempo de subida, e é dado por:
$t_{Q} = t_{S} = \frac{V_{y_{0}}}{g}$

Portanto, o tempo total é dado por:
$t = t_{Q} + t_{S} = 2 t_{S} = 2 \frac{V_{y_{0}}}{g}$

Vamos calcular o alcance, $S_{x}$, do projétil:
$S_{x}=S_{x_{0}}+V_{x_{0}}t + \frac{at^{2}}{2}$

Como partimos de um ponto inicial $S_{x_{0}} = 0$ e não há nenhuma aceleração influenciando no eixo x, $a = 0$, temos:
$S_{x}=V_{x_{0}}t$

$S_{x}=V_{x_{0}} * 2 * \frac{V_{y_{0}}}{g}$

$S_{x}=V_{0}\cos(\theta) * 2 \frac{V_{0}\sin(\theta)}{g}$

Apenas rearranjando os termos:
$S_{x}=\frac{V_{0}^{2}}{g} * 2 \sin(\theta)\cos(\theta)$

Lembrando que que $2\sin(\theta)\cos(\theta) = \sin(2\theta)$, temos:
$S_{x}=\frac{V_{0}^{2}}{g} * \sin(2\theta)$

Como $V_{0}$ e $g$ independem do ângulo, só precisamos analisar o valor de $\sin(2\theta)$.

O valor máximo da função seno acontece quando o ângulo é de 90º. Portanto, para maximizar o alcance $S_{x}$, temos que garantir que:
$2\theta=90º$.

$\theta=45º$

c.q.d.