Question

Identifique a posição da reta em relação à circunferência, nos seguintes casos:
A) X-Y+3=0 e λ x²+y²+4x-6y+11
B)x-y+1=0 λ x²+y²-2x-4=0

Answer 1

Oi Augusto.

A primeira coisa a se fazer é achar o Raio e o Centro da circunferência lâmbida.
É bem simples, basta pegar o termo que está multiplicando o x e o y e dividir por -2. Assim encontraremos o Raio.

4:-2=-2
-6:-2=3

E para achar o raio basta fazer a raiz quadrada dos centro ao quadrado menos o termo independente.

$C(-2,3)\\ \\ R=\sqrt { (-2)^{ 2 }+3^{ 2 }-11 } \\ R=\sqrt { 2 }$

Agora é só substituir na fórmula da distância ponto reta.

$d_{ cp }=\frac { |Ax+By+C| }{ \sqrt { A^{ 2 }+B^{ 2 } } } \\ \\ d_{ cp }=\frac { |1(-2)-1(3)+3| }{ \sqrt { 1^{ 2 }+(-1)^{ 2 } } } \\ \\ d_{ cp }=\frac { |-2| }{ \sqrt { 2 } } \\ \\ d_{ cp }=\frac { 2 }{ \sqrt { 2 } } *\frac { \sqrt { 2 } }{ \sqrt { 2 } } \\ \\ d_{ cp }=\sqrt { 2 }$

Ou seja o d=R, então a posição relativa é tangente.


Fazendo o mesmo processo para achar o centro e raio teremos:

$C(1,0)\\ \\ R=\sqrt { 1^{ 2 }+0^{ 2 }+4 } \\ R=\sqrt { 5 }$

Lembrando que essa segunda não tem termo multiplicando o y, e o termo independente é -4, e - com - vai dar +.

Agora é só calcular.

$d_{ cp }=\frac { |Ax+By+C| }{ \sqrt { A^{ 2 }+B^{ 2 } } } \\ \\ d_{ cp }=\frac { |1(1)-1(0)+1| }{ \sqrt { 1^{ 2 }+(0)^{ 2 } } } \\ \\ d_{ cp }=\frac { |2| }{ \sqrt { 1 } } \\ \\ d_{ cp }=2$

d<R

A posição relativa é secante.