Question

 '(OBMEP) Para cercar um terreno retangular de 60 metros quadrado com uma cerca formada por dois fios de arame foram usados 64 metros de arame.qual e a diferença entre a largura e o comprimento do terreno?'

Answer 1

Sejam as medidas deste terreno x e y:

Do enunciado, temos:

xy =60
x+y=16   pois divida 64 m por 2 (duas voltas) para obter 32 m que representam o perímetro.
               Logo o semi-perímetro é 16

Resolvendo a equação que se pode formar com estes dados:

$x^2-16x+60=0\\ \\ \Delta=(-16)^2-4.1.60=256-240=16\\ \\ x=\frac{16\pm\sqrt{16}}{2}=\frac{16\pm4}{2}\\ \\ x=6 \ m\\ \\ y=10 \ m$

Logo a diferença procurada é:

10m - 6m = 4m

Answer 2

Vamos chamar as dimensões deste terreno de $a$ e $b$.

Como esse terreno tem $60~\text{m}^2$ de área, temos $ab=60~~(i)$.

Além disso, sabemos que, para cercar esse terreno com dois fios de arame foram gastos 64 metros de arame.

Assim, $2(2a+2b)=64~~\Rightarrow~~2a+2b=32~~\Rightarrow~~a+b=16$.

Daí, $a=16-b$. Substituindo em (i):

$(16-b)b=60~~\Rightarrow~~16b-b^2=60~~\Rightarrow~~-b^2+16b-60=0$.

$\Delta=16^2-4\cdot(-1)\cdot(-60)=256-240=16$

$b=\dfrac{-16\pm\sqrt{16}}{2(-1)}=\dfrac{-16\pm4}{-2}$.

$b'=\dfrac{-16+4}{-2}=\dfrac{-12}{-2}=6$

$a'=16-6=10$

$b"=\dfrac{-16-4}{-2}=\dfrac{-20}{-2}=10$

$a"=16-10=6$

As dimensões desse terreno são 10 e 6 metros e a diferença pedida é 10 - 6 = 4 m.