Question

Calcule o valor da expressão log2 8√3 - 2.log2 (log3 81)

Answer 1

Vamos lá.

Aaaany, pelo que está colocado, estamos entendendo que a equação logarítmica da sua questão seria esta, que vamos chamá-la de um certo "y", apenas para deixá-la igualada a alguma coisa:

y = log₂ (8√3) - 2log₂ (log₃ (81))

Antes veja que se você tomar o último logaritmando, que é log₃ (81), e igualá-lo a "x" vai obter o seu valor. Note:

log₃ (81) = x ---- utilizando a definição de logaritmos, teremos que isto é a mesma coisa que:

3ˣ = 81 ----- como 81 = 3⁴, então ficaremos com:
3ˣ = 3⁴ ---- como as bases são iguais, então igualamos os expoentes. Logo:
x = 4 .

Assim, vamos para a nossa expressão (y) e, no lugar do logaritmando (log₃ (81), colocaremos "4", conforme encontramos aí em cima.
Assim, a nossa expressão "y" passará a ser:

y = log₂ (8√3) - 2log₂ (4)  ----- passando o "2" que está multiplicando como expoente do logaritmando "4", ficaremos com:

y =  log₂ (8√3) - log₂ (4²) ----- agora como as bases são iguais, então vamos transformar essa subtração em divisão, com o que ficaremos assim:

y = log₂ (8√3 / 4²) ------ Agora aplicamos a definição de logaritmo. Fazendo isso, teremos que:

2ʸ  = (8√3 / 4²) ----- veja que 4² = 16. Assim:
2ʸ = 8√3 / 16 ---- simplificando-se o 2º membro por "8", ficaremos com:
2ʸ = √3 / 2 --- multiplicando-se em cruz, teremos:
2*2ʸ = √3 ---- note que o "2" que está sem expoente tem, na verdade, expoente igual a "1". É como se fosse assim:

2¹*2ʸ = √3 ---- note: no 1º membro, temos uma multiplicação de potências da mesma base. Regra: conserva-se a base comum e somam-se os expoentes. Logo:

2¹⁺ʸ = √3 ---- note que √3 = 3¹/². Assim, ficaremos com:
2¹⁺ʸ = 3¹/² ---- como as bases não são iguais, então aplicaremos logaritmo (na base 10) a ambos os membros, ficando assim:

log₁₀ (2¹⁺ʸ) = log₁₀ (3¹/²) ----- passando os respectivos expoentes multiplicando, ficaremos com:

(1+y)*log₁₀ (2) = (1/2)*log₁₀ (3)

Veja que:
log₁₀ (2) = 0,30103 (aproximadamente)
e
log₁₀ (3) = 0,47712 (aproximadamente).
Então, fazendo as devidas substituições, teremos;

(1+y)*0,30103 = (1/2)*0,47712 ---- efetuando os produtos indicados, temos:
0,30103 + 0,30103y = 0,47712/2 --- veja que "0,47712/2 = 0,23856". Logo:
0,30103 + 0,30103Y = 0,23856 ---- passando "0,30103" para o 2º membro:
0,30103y = 0,232856 - 0,30103
0,30103y = - 0,06247 ---- isolando "y", teremos;
y = - 0,06247/0,30103 ---- note que esta divisão dá "-0,20752" (bem aproximado). Assim, teremos:

y = - 0,20752 <--- Esta será a resposta. Ou seja, a resposta aproximada será esta se a sua expressão estiver como consideramos.

É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.