Question

calcule a integral dupla de x y .dA sendo que r= (x,y) onde x maior ou igual a 0 e menor ou igual a 2 e y maior ou igual 1 e menor ou igual a 2

Answer 1

2  2                2         2     2                             2
∫  ∫x.y dxdy = ∫ [x²y/2] dy = ∫[4y/2 - 0y/2] dy = ∫2y dy
1  0                1         0   1                               1

             2
= [2y²/2]  = (2.4/2) - (2.1/2) = 4 - 1 = 3u.a
             1

Answer 2

A integral dupla dada no enunciado vale 3.

Do enunciado, temos que calcular a integral ∫∫xy dA, onde a região a ser integrada é um retângulo. Sabemos que os limites da variável x são 0 ≤ x ≤ 2 e os limites da variável y são 1 ≤ y ≤ 2. Sendo assim, podemos montar:

$\int\limits^2_1 \int\limits^2_0 {xy} \, dxdy$

A primeira integral a ser calculada é em x, logo:

∫xy dx = y.x²/2

Substituindo os limites de integração:

∫xy dx = y.2²/2 - y.0²/2

∫xy dx = 2.y

Agora, temos integrar 2y em relação a y:

∫2y dy = 2.y²/2 = y²

Substituindo os limites de integração:

∫2y dy = 2² - 1² = 4 - 1 = 3

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