Question

Considere a expressão fraction numerator text sen end text x plus text cotg end text x over denominator text tg end text x times text cosec end text x end fraction,sabendo que x pertence ao terceiro quadrante e que cos left parenthesis x right parenthesis space equals negative 3 over 4 ,

Answer 1

Reescrevendo o enunciado:

Considere a expressão $\frac{sen(x)+cotg(x)}{tg(x).cossec(x)}$ sabendo que x pertence ao terceiro quadrante e que $cos(x) = -\frac{3}{4}$ determine o valor da expressão anterior.

Solução

Primeiramente, vale lembrar o que são cotangente, tangente e cossecante:

$cotg(x) = \frac{cos(x)}{sen(x)}$

$tg(x) = \frac{sen(x)}{cos(x)}$

$csc(x) = \frac{1}{sen(x)}$

Substituindo essas identidades trigonométricas na expressão inicial:

$\frac{sen(x) + \frac{cos(x)}{sen(x)}}{\frac{sen(x)}{cos(x)}.\frac{1}{sen(x)}} =$

$\frac{\frac{sen^2(x)+cos(x)}{sen(x)}}{\frac{1}{cos(x)}} =$

$\frac{sen^2(x)+cos(x)}{sen(x)}.cos(x)$ (*)

De acordo com o enunciado, $cos(x) = -\frac{3}{4}$. Para calcular o valor de sen(x) utilizaremos a relação fundamental da trigonometria sen²(x) + cos(x) = 1:

$sen^2(x) + (-\frac{3}{4})^2 = 1$

$sen^2(x) + \frac{9}{16} = 1$

$sen^2(x) = 1 - \frac{9}{16}$

$sen^2(x) = \frac{7}{16}$

$sen(x) = -\frac{\sqrt{7}}{4}$

O seno deverá ser negativo, pois x pertence ao terceiro quadrante.

Substituindo os valores de seno e cosseno em (*):

$\frac{(-\frac{\sqrt{7}}{4})^2-\frac{3}{4}}{-\frac{\sqrt{7}}{4}}.(-\frac{3}{4})=$

$(\frac{7}{16}- \frac{3}{4}).(- \frac{4}{\sqrt{7}}).( -\frac{3}{4} ) =$

$-\frac{5}{16}. \frac{3}{\sqrt{7}} =$

$-\frac{15}{16\sqrt{7}} =$

Racionalizando:

$-\frac{15}{16\sqrt{7}}. \frac{16\sqrt{7}}{16\sqrt{7}} =$

$-\frac{240\sqrt{7}}{1792} =$

Simplificando por 16:

$-\frac{15\sqrt{7}}{112}$ → esse é o valor da expressão.