Question

"Na divisão de dois números inteiros, o quociente é 16 e resto é o maior possível. Se a soma do dividendo e do divisor é 125, determine o resto."

Por favor, não quero só a resposta, se possível, quero a justificativa e um explicação e como posso usar o Algoritmo de Euclides para responder.

Answer 1

Vamos lá.

Veja, Diógenes, que a resolução é simples.
Vamos tentar resolvê-la bem passo a passo para um melhor entendimento.

i) Veja que em TODA E QUALQUER divisão isto ocorre:

D = d*q + R         . (I)

Na fórmula acima,  "D" é o dividendo, "d" é o divisor, "q" é o quociente e "R"  é o resto.

ii) Na sua questão temos as seguintes informações: o quociente é 16 (logo q = 16) e o resto é o maior possível. Veja: quando se fala em resto maior possível isso significa que ele é menor "1" unidade que o divisor (d).
Assim, se o resto é maior possível, então o resto será igual a: R = d-1.
Tem-se também que a soma soma do dividendo (D) com o divisor (d) é igual a 125.
Então teremos isto:

D + d = 125       . (II)
e
utilizando a expressão (I) [ D = d*q + R ], teremos isto, após substituirmos "q" por "16" e "R" por "d-1":

D = d*16 + d-1       . (III)

iii) Vamos começar trabalhando com a expressão (III) acima, que é esta:

D = d*16 + d-1 ------ desenvolvendo, temos que;
D = 16d + d - 1 ----- note que 16d+d = 17d. Assim:
D = 17d - 1        . (IV)

iv) Mas veja que já temos, conforme a expressão (II), que:

D + d = 125 ------ isolando "D", teremos que;
D = 125 - d       . (V)

v) Agora vamos na expressão (IV), que é esta:

D = D = 17d - 1 ---- substituindo-se "D" por "125-d", conforme vimos na expressão (V), teremos:

125-d = 17d - 1 ---- passando "-1" para o 1º membro e passando "-d" para o 2º membro, teremos isto:

125 + 1 = 17d + d
126 = 18d --- vamos apenas inverter, ficando:
18d = 126
d = 126/18
d = 7 <--- Este é o valor do divisor (d).

v) Finalmente, como é pedido apenas o valor do resto, e já sabendo que o resto é o maior possível, que é aquele menor uma unidade que o divisor, então esse resto será:

R = d-1 ----- substituindo-se "d" por "7", teremos;
R = 7-1
R = 6 <--- Esta é a resposta. Este é o valor do resto.

Bem, a resposta já está dada, pois a questão só pede o valor do resto. Mas se você quiser saber qual é o valor do dividendo (D), então veja que: se o resto é igual a "6", se o quociente é igual a "16", e se o divisor é igual a "7", então o dividendo (D) será este (veja que basta utilizar a expressão (I) ):

D = d*q + R ----- fazendo as devidas substituições, teremos:
D = 7*16 + 6
D = 112 + 6
D = 118 <--- Este é o valor do Dividendo.

Quanto ao algoritmo de Euclides, note que ele é utilizado para encontrar o MDC entre dois números pelo método de divisões sucessivas. Não é o caso da sua questão, em que é pedido apenas o resto da divisão de um Dividendo (D) por um divisor (d), cujo quociente é "16" e cujo resto é o maior possível (d-1), ok?

É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.