Question

Se x é um inteiro tal que (1−x,9−x,15−x) é uma progressão geométrica, então o resto da divisão euclidiana de x por 5 é igual a:

A) 0
B) 1
C) 2
D) 3
E) 4

Answer 1

Olá.

 

Tem uma questão de PG, progressão geométrica.

 

Usaremos uma propriedade de PG, onde podemos afirmar que a razão de um PG pode ser obtida através da divisão de um termo e seu antecessor. Ou seja:

$\mathsf{q=\dfrac{a_n}{a_{n-1}}}$,

Onde:

q: razão

 

Usaremos essa propriedade para calcular a razão a partir de 2 modos diferentes, um com a₃/a₂, outro com a₂/a₁. Teremos:

$\mathsf{q=\dfrac{a_2}{a_1}=\dfrac{a_3}{a_2}}\\\\\\\mathsf{\dfrac{9-x}{1-x}=\dfrac{15-x}{9-x}}$

 

Multiplicando cruzado, teremos:

$\mathsf{(9-x)\cdot(9-x)=(1-x)(15-x)}\\\\\mathsf{9^2-9x-9x+x^2=15-x-15x+x^2}\\\\\mathsf{9^2-18x+x^2=15-16x+x^2}$

 

Agrupando as incógnitas no 1° membro e os termos independentes no 2° membro, vamos continuar:

$\mathsf{9^2-18x+x^2=15-16x+x^2}\\\\\mathsf{x^2-x^2-18x+16x=15-9^2}\\\\\mathsf{-2x=15-81}\\\\\mathsf{-2x=-66}\\\\\mathsf{x=\dfrac{-66}{-2}}\\\\\boxed{\mathsf{x=33}}$

 

Temos que o valor de x é 33.

 

O enunciado deseja o resto da “divisão euclidiana de x por 5”. A divisão euclidiana é a que estudamos desde o ensino fundamental. Teremos:

$\begin{array}{cccc}&33&|\underline{~~05~~}\\-&\underline{~30~}&6\\&03\end{array}$

 

O resto da divisão é 3, logo, a resposta está na alternativa D.

 

Quaisquer dúvidas, deixe nos comentários.

Bons estudos.