Question

Sejam A e B inteiros positivos. Determine os possíveis valores de A e B, sabendo que mdc(A,B)=18 e mmc(A,B)=540.

Answer 1

Olá. 

MDC, abreviação de “Máximo Divisor Comum”, é o nome dado ao processo usado para descobrir o(s) divisor(es) que dois ou mais números tem em comum. O valor do MDC dos números é o valor mínimo a ser usado para qualquer valor de A e B, no caso de mdc(a, b). Apenas com esse dado, podemos afirmar que:

a, b ≡ 18, (a e b são divisíveis por 18).

a, b ≥ 18 (a e b tem de ser maiores ou iguais a 18), com a ≠ b.

 

MMC, abreviação de “Mínimo Múltiplo Comum”, é o nome dado ao processo usado para descobrir o(s) múltiplo(s) de dois ou mais números. O MMC sempre vai ser o maior dos números, considerando quaisquer valores de A e B, no caso de mmc(a, b). Apenas com esse dado, podemos afirmar:

a ∨ b = 540, (a ou b é igual a 540)

a ∨ b ≤ 540 (a ou b tem que ser menor ou igual a 540), com a ≠ b.

 

Já temos dois valores para a e b:

(a, b) = (18, 540), (540, 18).

 

Além desses, há mais números, que satisfazem os requisitos supracitados. Podemos dizer que esses outros números são "flexões" de 18 e 540. Para descobrir essas “flexões”, temos que descobrir o limite. Para descobrir o limite, basta dividirmos o MMC pelo MDC. Teremos:

$\mathsf{\dfrac{mmc}{mdc}=\dfrac{540}{18}=30}$

 

Fatorando o 30, teremos:

30 = 2¹ • 3¹ • 5¹

 

Multiplicando o 18, e dividindo o 540, por cada um dos três números que compõe o 30, teremos as “flexões citadas”. Vamos aos cálculos:

Caso 1: 18 • 2 = 36,

Caso 1: 540 / 2 = 270.

Caso 1: (a, b) = (36, 270), (270, 36)

 

Caso 2: 18 • 3 = 54

Caso 2: 540 / 3 = 180

Caso 2: (a, b) = (54, 180), (180, 54)

 

Caso 3: 18 • 5 = 90

Caso 3: 540 / 5 = 108

Caso 3: (a, b) = (90, 108), (108, 90)

 

Juntando tudo, teremos todos os possíveis números valores para a e b:

(a, b) = (18, 540), (540, 18),

(a, b) = (36, 270), (270, 36),

(a, b) = (54, 180), (180, 54),

(a, b) = (90, 108), (108, 90);

 

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Bons estudos.