Question

Simplifique a expressão sen (x+y) . sen (x-y).

Answer 1

cos(x+y)=cos(x)cos(y)-sen(x)sen(y) 
cos(x-y)=cos(x)cos(y)+sen(x)sen(y) 

-cos(x+y)+cos(x-y)=2sen(x)sen(y) 

fazendo 2a=x+y e 2b=x-y => x=a+b e y=a-b 
-cos(2a) + cos(2b)=2sen(a+b)sen(a-b) (1) 

Agora, determinamos sen(2a)+sen(2b): 

sen(x+y)=sen(x)cos(y) + cos(x)sen(y) 
sen(x-y)=sen(x)cos(y) - cos(x)sen(y) 

sen(x+y) + sen(x-y) = 2sen(x)cos(y) 

repetindo a substituição por a e b: 
sen(2a) + sen(2b) = 2sen(a+b)cos(a-b) (2) 

Usando (1) e (2) na expressão original: 


sen(a-b) + cos(a-b) - cos (2a) + cos (2b) + sen (2a) + sen (2b) 
= sen(a-b) + cos(a-b) - (cos (2a) - cos (2b)) + ( sen (2a) + sen (2b) ) 
= sen(a-b) + cos(a-b) + 2sen(a+b)sen(a-b) + 2sen(a+b)cos(a-b) 

Reagrupando: 
= ( sen(a-b) + 2sen(a+b)sen(a-b) ) + ( cos(a-b) + 2sen(a+b)cos(a-b) ) 
= sen(a-b).( 1 + 2sen(a+b) ) + cos(a-b)(1 + 2sen(a+b) ) 
= (sen(a-b) +cos(a-b)) .( 1 + 2sen(a+b) )