Question

Considere o triângulo isósceles ABC da figura abaixo. É CORRETO afirmar que o cosseno do ângulo  vale
a) 1/9
b) 2/9
c) 1/3
d) 2/3

Answer 1

Olá Francisco!

Considere H como sendo a mediana relativa à base BC. Como o triângulo ABC é isósceles, então a mediana é também altura e bissetriz. Desse modo, temos que: $\mathbf{\overline{CH} = \overline{HB}}$.

  Assim,

$\\ \mathsf{\overline{CH} = \overline{HB} = \frac{2a}{3}}$


 Determinemos a medida da altura $\mathbf{\overline{AH}}$ aplicando o teorema de Pitágoras no $\mathbf{\Delta ABH}$. Segue,

$\\ \displaystyle \mathsf{\overline{AB}^2 = \overline{AH}^2 + \overline{HB}^2} \\\\\\ \mathsf{a^2 = \overline{AH}^2 + \left ( \frac{2a}{3} \right )^2} \\\\\\ \mathsf{\overline{AH}^2 = \frac{5a^2}{9}} \\\\\\ \boxed{\mathsf{\overline{AH} = \frac{a\sqrt{5}}{3}}}$

 Por conseguinte, tomamos $\mathbf{B\widehat{A}H = \alpha}$. Daí,

$\\ \displaystyle \bullet \quad \mathsf{\cos \alpha = \frac{a\sqrt{5}}{3} : a = \frac{a\sqrt{5}}{3} \cdot \frac{1}{a} = \boxed{\frac{\sqrt{5}}{3}}} \\\\\\ \bullet \quad \mathsf{\sin \alpha = \frac{2a}{3} : a = \frac{2a}{3} \cdot \frac{1}{a} = \boxed{\frac{2}{3}}}$


 Entretanto, o enunciado pede que determinemos $\mathbf{\cos (2\alpha)}$.

 Por fim,

$\\ \displaystyle \mathsf{\cos (2\alpha) = \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha} \\\\\\ \mathsf{\cos (\alpha + \alpha) = \left ( \frac{\sqrt{5}}{3} \right )^2 - \left ( \frac{2}{3} \right )^2} \\\\\\ \mathsf{\cos \widehat{A} = \frac{5}{9} - \frac{4}{9}} \\\\\\ \boxed{\boxed{\mathsf{\cos \widehat{A} = \frac{1}{9}}}}$

Answer 2

Resposta:

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Explicação passo-a-passo:

1/9,1