Question

TRIGONOMETRIAAAAA!! Calcule o valo desta expressão para $x = \frac{ \pi }{4}$ : 
$cos 2x + cos 4x + cos 6x + .... + cos 78x + cox 80x$

Answer 1

$x=\dfrac{\pi}{4}=\dfrac{180^{\circ}}{4}=45^{\circ}$

$\text{cos}~2x=\text{cos}~90^{\circ}=0$

$\text{cos}~4x=\text{cos}~180^{\circ}=-1$

$\text{cos}~6x=\text{cos}~270^{\circ}=0$

$\text{cos}~8x=\text{cos}~360^{\circ}=1$

$\text{cos}~10x=\text{cos}~450^{\circ}=0$.

E assim sucessivamente.

Temos um padrão que se repete a cada quatro parcelas, cuja soma é $0-1+0+1=0$.

Com isso,

$\text{cos}~2x+\text{cos}~4x+\text{cos}~6x+\text{cos}~8x=0$

$\text{cos}~10x+\text{cos}~12x+\text{cos}~14x+\text{cos}~16x=0$

$\dots$

$\text{cos}~74x+\text{cos}~76x+\text{cos}~78x+\text{cos}~80x=0$.

A resposta é $0$.

Answer 2

x = $\frac {\pi}{4}$ = 45°
cos 2. $\frac {\pi}{`4}$ = cos 90° = 0
cos 4.$\frac {\pi}{4}$ = cos 180° = -1
cos 6.$\frac {\pi}{4}$ = cos 270° = 0
cos 78.$\frac {\pi}{4}$ = cos 3510° ou 9 voltas e 270° = 0
cos 80.$\frac {\pi}{4}$ = cos 3600° = 10 voltas  = 1
ou seja, trata-se de uma PA com razão 02
Assim temos; a₁ = cos 2x r  = 2
como são números pares temos 80/2 = 40, logo o último termo é a₄₀ = cos80x
Sn = $\frac {(a1 + an).n}{2}$
S₄₀ = $\frac {(cos 2x + cos80x).40}{2}$
S₄₀ = $\frac {(0 + 1).40}{2}$
S₄₀ = $\frac {40}{2}$ ⇔ 20