Question

Quais são as medidas dos catetos e qual é a área do triangulo retângulo da figura ?

Answer 1

Para descobrir o valor dos catetos, temos que aplicar o Teorema de Pitágoras:
hipotenusa² = cateto² + cateto²
Assim:
17² = x² + (x+7)²
289 = x² + x² + 14x + 49
2x² + 14x = 289 - 49
2x² + 14x = 240
2x² + 14x - 240 = 0(dividindo tudo por 2)
x² + 7x - 120 = 0 

Fazendo o delta, teremos:
Δ = b² -4ac 
Δ = 7² -4.1.(-120)
Δ = 49 + 480
Δ =   529

Entao...

x = $\frac{-b +- \sqrt{529} }{2a}$

x = $\frac{-7 +- 23}{2}$

x1 = $\frac{-7 + 23}{2}$
x1 = 8

x2 = $\frac{-7 - 23}{2}$
x2 = -15

MAS, como estamos lidando com medidas, x só pode ter valor positivo.
Assim, os catetos medem 8 e 15.

Para calcularmos a área, temos a fórmula:

A = $\frac{b.h}{2}$

A = $\frac{15.8}{2}$

A = 60 u.m.²

Answer 2

Olá, Juan. Tudo bem?

Os catetos, num triângulo retângulo, são os lados que formam o ângulo de 90º.
Analisando a figura, os catetos são:

Cateto menor: x
Cateto maior: x + 7

O lado oposto ao ângulo de 90º é a hipotenusa, que mede 17.
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A relação que usaremos para este cálculo é o Teorema de Pitágoras.

Este Teorema estabelece uma relação entre a medida dos catetos e a medida da hipotenusa. Assim:
 $a^{2} = b^{2} + c^{2}$
 a = hipotenusa
 b= cateto
 c = cateto

Substituindo a fórmula pelos valores que tenho:
 $a^{2} = b^{2} + c^{2} \\ = 17^{2} = x^{2} + (x+7)^{2} \\ = 289 = x^{2} + x^{2} + 14x + 49 \\ = 289 = 2 x^{2} + 14x + 49 \\ = 2 x^{2} + 14x + 49 = 289 \\ = 2 x^{2} + 14x + 49 -289 = 0 \\ = 2 x^{2} + 14x -240 =0 \\ = x^{2} + 7x -120 =0$
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Obtivemos, portanto, uma equação do segundo grau.
Usaremos a fórmula de Bhaskara para este processo.
Esta fórmula se divide em duas partes:

I) Cálculo do discriminante (Δ, lê-se delta)
II) Fórmula em si

-----Calculando o discriminante:

Δ = b² -4ac
Δ = 49 -4 * 1 *(-120)
Δ = 49 -4(-120)
Δ = 49 + 480
Δ = 529

----Calculo da fórmula de Bhaskara em si
 
 $x = \frac{-b +ou- \sqrt{delta} }{2a} \\ = x = \frac{-7+ou- \sqrt{529} }{2} \\ = x = \frac{-7 +ou-23 }{2a} \\ \\ x' = \frac{-7 +23}{2} \\ x' = \frac{16}{2} \\ x' = 8 \\ \\ x" = \frac{-7-23}{2} \\ x" = \frac{-30}{2} \\ x" = -15$

As raízes da minha equação são 8 e -15.
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Voltando ao problema

Minhas raízes são 8 e -15, o problema é que estou falando de triângulos, e nunca na galáxia nos cosmos do universo uma medida será negativa, portanto, o único x que se aplica à questão é 8.
Ficamos com a seguinte configuração:
---Cateto menor = 8
---Cateto maior = 15 (esse 15 vem da soma 7 + 8, e não da fórmula de Bhaskara).
---Hipotenusa = 17

A fórmula da área do triângulo é:
 $A = \frac{b*h}{2}$
A = Área // b = base // h = altura

Substituindo pelos nossos dados, e considerando que a base e a altura são as medidas dos catetos.
 $A = \frac{8 * 15}{2} \\ = A = \frac{120}{2} \\ = A = 60$

A área, então, é de 60 u.m.² (u.m. = unidade de medida).
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Resposta final:
Os catetos medem 8u.m. e 15 u.m. , enquanto a área é de 60 u.m.². [u.m. = unidade de medida, já que a questão não especifica nenhuma].
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Espero ter ajudado.
Bons estudos! :)