Question

Determine a equaçao geral da reta que passa pelos centros das circunferencias de vequaçaoes ( x + 2 )² +(y - 1)² = 19 e x² + y² - (x + y + 1) = 0

Answer 1

A equação reduzida de uma circunferência é:

$(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$

Onde $(a,b)$ é o centro da circunferência e $r$ é o seu raio.

Vamos encontrar os centros das circunferências escrevendo suas equações na forma reduzida:

$(x+2)^2+(y-1)^2=19\Longrightarrow C_1(-2,1)$

$x^2+y^2-(x+y+1)=0\\\\ (x^2-x)+(y^2-y)=1\\\\ (x^2-x+\bold{\dfrac{1}{4}})+(y^2-y+\bold{\dfrac{1}{4}})=1+\bold{\dfrac{1}{4}}+\bold{\dfrac{1}{4}}\\\\ (x-\dfrac{1}{2})^2+(y-\dfrac{1}{2})^2=\dfrac{3}{2}\Longrightarrow C_2(\dfrac{1}{2},\dfrac{1}{2})$

Logo, os pontos $(-2,1)$ e $(\dfrac{1}{2},\dfrac{1}{2})$ pertencem à reta que queremos encontrar. Assim:

$m=\dfrac{\Delta y}{\Delta x}=\dfrac{1-\frac{1}{2}}{-2-\frac{1}{2}}\Longrightarrow m=\dfrac{\frac{1}{2}}{-\frac{5}{2}}\Longrightarrow m=-\dfrac{1}{5}$

$y=m(x-x_0)+y_0\\\\ y=-\dfrac{1}{5}(x-(-2))+1\\\\ \boxed{r:~y=-\dfrac{x}{5}+\dfrac{3}{5}}$