Quatro números são tais que os três primeiros formam uma progressão aritmética de razão 6, os três últimos uma progressão geométrica e o primeiro número é igual ao quarto. Determine os quatro números.
Respostas
( a1, a2, a3, a4)
_ temos que a1 = a4 ok?
_ ( a1,a2,a3)= PA
_ ( a2,a3,a4)= PG
numa PA genérica qualquer de 3 termos temos:
x-3, x , x+3
sabemos que a razão vale 6
a2 - a1 = R
x - ( x-3) = 6
x + x + 3 = 6
2x = 6-3
x = 3/2
Logo os termos são:
a1 = x-3
a1 = 3/2 - 3
a1 = -3/2
a2 = x
a2 = 3/2
a3 = x+3
a3 = 3/2 + 3
a3 = 9/2
PA ( -3/2 ; 3/2 ; 9/2)
Como o a1 da PA é igual ao a4 da PG, temos:
( -3/2; 3/2; 9/2; -3/2)
Resposta:
-8;-2;4;-8
Explicação passo-a-passo:
São 4 termos: x,y,z,w...
Sabemos que os três primeiros formam uma PA de razão 6. Logo, podemos representá-los por: x;x+6;x+12
Ainda sabemos que o ultimo termo é igual ao primeiro. Assim, representamos os quatro termos por: x;x+6;x+12;x
Os três ultimos termos formam uma PG. Mas sabemos que, em uma PG de tamanho ímpar, o termo do meio ao quadrado equivale ao produto dos extremos (isso ocorre pq o x3/x2=x2/x1, logo, x2²=x1*x3).
Assim, podemos substituir os valores na fórmula:
(x+12)² = x(x+6)
x²+24x+144 = x²+6x
18x = -144
x = -8
Já que x vale -8, podemos substituir os valores na sequência dada, e a resposta é:
-8, -2, 4 e -8
Se verificarmos a razão dos três primeiros termos, ela é 6, e se aplicarmos testes para verificar a PG nos três ultimos, obtemos razão de -2, e concluímos que é, de fato, uma PG.