Question

Como calcula o limite (raiz x+2)- (raiz 2)/x quando x tende 0 ??

Answer 1

Podemos resolver essa questão de duas formas. A primeira é utilizar diretamente o Teorema de L'Hôpital, já que há uma indeterminação do tipo 0/0 no limite. Porém, faremos de outra forma aqui.

É dado o limite:

$L=\lim_{x\to0}\dfrac{\sqrt{x+2}-\sqrt{2}}{x}$

Vamos multiplicar o numerador e o denominador por $\sqrt{x+2}+\sqrt{2}$ (que é a mesma expressão do numerador inicial, apenas com o sinal central trocado). Assim, obtemos:

$L=\lim_{x\to0}\dfrac{\sqrt{x+2}-\sqrt{2}}{x}\times\dfrac{\sqrt{x+2}+\sqrt{2}}{\sqrt{x+2}+\sqrt{2}}\\\\ L=\lim_{x\to0}\dfrac{(\sqrt{x+2})^2-(\sqrt{2})^2}{x(\sqrt{x+2}+\sqrt{2})}\\\\ L=\lim_{x\to0}\dfrac{(x+2)-(2)}{x(\sqrt{x+2}+\sqrt{2})}\\\\ L=\lim_{x\to0}\dfrac{x}{x(\sqrt{x+2}+\sqrt{2})}\\\\ L=\lim_{x\to0}\dfrac{1}{\sqrt{x+2}+\sqrt{2}}$

Note que agora não temos indeterminação no limite, bastando apenas substituir na expressão o valor para o qual x está tendendo:

$L=\lim_{x\to0}\dfrac{1}{\sqrt{x+2}+\sqrt{2}}\\\\ L=\dfrac{1}{\sqrt{0+2}+\sqrt{2}}\\\\ L=\dfrac{1}{2\sqrt{2}}\\\\ \boxed{\lim_{x\to0}\dfrac{\sqrt{x+2}-\sqrt{2}}{x}=\dfrac{1}{2\sqrt{2}}}$