Question

(PUC) - O número de pontos de intersecção dos gráficos das funções f e g dadas por:

f(x)= -|cosx| e g(x)= cos(x+ $\frac{ \pi }{2}$) com $- \pi \ \textless \ x \ \textless \ \pi$ é:

Resposta: 2

Eu consegui chegar até a expressão cosx = senx , depois não consigo continuar alguém poderia me ajudar?

Answer 1

$cos(x + y) \ = \ cos(x).cos(y) \ + \ sen(x).sen(y)$

$Os \ pontos \ de \ intersec\c{c}\~ao \ desses \ gr\'aficos \ se \ d\~ao \ quando: \\ \\ f(x) \ = \ g(x)$

$- \ |cos(x)| \ = \ cos(x + \frac{\pi}{2} )$

$(Lembrando \ que \ temos \ que \ respeitar \ o \ intervalo: \ - \ \pi \ \textless \ x \ \textless \ \pi)$

$- \ |cos(x)| \ = \ cos(x + \frac{\pi}{2} ) \ \ \rightarrow \ Usando \ a \ soma \ de \ arcos : \ \ \\ \\ - \ |cos(x)| \ = \ (cos(x).cos( \frac{\pi}{2}) \ - \ sen(x).sen( \frac{\pi}{2} ) ) ) \\ \\ Sendo \ \rightarrow \ cos(\frac{\pi}{2}) = 0 \ e \ sen(\frac{\pi}{2}) = 1 : \\ \\ - \ |cos(x)| \ = 0 \ - \ sen(x) \\ \\ \ |cos(x)| \ = \ sen(x)$

$Temos \ uma \ equa\c{c}\~ao \ modular, \ e, \ por \ isso, \ temos \ que \ considerar : \\ \\ cos(x) \ = \ sen(x) \ e \ tamb\'em \ - \ cos(x) \ = \ sen(x)$

$(Lembrando \ que \ o \ m\'odulo \ \'e \ o \ valor \ absoluto \ de \ um \ n\'umero. \\ Logo, |x| = \pm \ x)$

$Do \ intervalo, os \ valores \ que \ satisfazem \ cos(x) \ = sen(x) \ s\~ao \ \frac{\pi}{4} \ e \ - \frac{3.\pi}{4}. \\ \\ E \ os \ valores \ que \ satisfazem \ - \ cos(x) \ = sen(x) \ s\~ao \ - \frac{\pi}{4} \ e \frac{3.\pi}{4}.$

$Por\'em, \ testando\ na \ pr\'opria \ f\'ormula, \ s\'o \ \frac{\pi}{4} \ e \  \frac{3.\pi}{4} \ servem.$

$Logo, \ s\~ao \ dois \ valores.$