Começando com o intervalo fechado da reta [0,1], retiramos seu terço médio aberto (13,23), restando os intervalos fechados [0,13] e [23,1]. Repetimos agora essa operação com cada um desses intervalos que restaram, e assim por diante. Seja Sn a soma dos comprimentos dos intervalos que foram retirados depois de n dessas operações. Mostre que Sn=1−(23)n. Calcule o valor para o qual Sn se aproxima quando n cresce indefinidamente. O conjunto dos pontos não retirados é vazio? Justifique. Resposta
Respostas
=1 (1-(2/3)^n) (1-2/3) =(1-(2/3)^n) (1/3) = 3(1-(2/3)^n) , para n grande (2/3)^n vai a zero S = 3 (1-0) = 3 , POIS soma converge pois a razão 0 <r<1
1) Para encontrarmos uma relação de progressão, podemos descrever os próximos terços médios retirados e teremos:
1° etapa: (1/9; 2/9) ; (7/9; 8/9)
.
2°etapa: (1/27 ; 2/27) ; (7/ 27; 8/27) ; (19/27; 20/27) ; (25/27;26/27).
Agora, para encontrarmos a progressão devemos obter a soma dos comprimentos de cada terço de cada etapa:
1° etapa: 1/9 + 1/0 = 2/9
2° etapa: 1/27 + 1/27 + 1/27 + 1/27 = 4/27.
Somente com esses dois primeiros termos podemos perceber que toda a progressão se dará multiplicando o termo atual por 2/3. Isso sempre nos dará a soma dos comprimentos dos terços da próxima etapa.
Com isso, temos uma progressão geométrica infinita de razão 2/3 e a1 1/3.
E como em toda P.G, podemos calcular a soma dos n termos após n operações através da fórmula:
Sn = a1 (q^n - 1) / q - 1
Sn = [1/3 (2^n/3 - 1)]
Sn = [1/3 (2^n/3 - 1) / -1/3]
Sn = -(2^n/3 - 1)
Sn = 1 - (2/3)^n
2) O valor para o qual Sn se aproxima quando n cresce indefinidamente é justamente a soma dos termos de uma P.G infinita, que podemos calcular através da fórmula:
Sn = a1/1 - q
Sn = 1/3 / 1 - 2/3
Sn = 1/3 / - 1/3
Sn = -1
espero ter ajudado nos estudos, bom dia :)