Question

Alguem me ajuda com umas questões de limite.
1) Lim (x^2-16/x-4)
X->4
2) Lim ( x^2-2x-3/x-3)
X->3

Answer 1

Olá


Os limites apresentados, resultam em indeterminações do tipo 0/0, então, temos que usar artifícios para escaparmos dessas indeterminações.

Há algumas maneiras de fazer isso.

1º forma - Fatorar os poliômios.

2º forma - Dividir o polinômio pela raíz do limite. 

3º forma - Usar Briot Ruffini



Irei resolver pela 1ª forma.




A)

$\displaystyle \mathsf{\lim_{x \to 4} ~ \frac{x^2-16}{x-4} }$


Vamos então fatorar o numerador:

Só lembrando que a forma fatorada de um polinômio é dada por:

a(x-b)*(x-c)

Sendo:

"a" o coeficiente frente ao x²
"b" e "c" as raízes do polinômio


x² - 16 = 0
x² = 16
x = ±√16
x = ±4


Então, podemos reescrever o polinômio como:

(x - 4) * (x + 4)


Vamos substituir a forma fatorada do polinômio no limite


$\displaystyle \mathsf{\lim_{x \to 4} ~ \frac{(x-4)\cdot(x+4)}{x-4} }$


Note que há um termo em comum no numerador e denominador (x-4), então vamos cancelar esses termos.


$\displaystyle \mathsf{\lim_{x \to 4} ~ \frac{(\diagup\!\!\!\!x-\diagup\!\!\!\!4)\cdot(x+4)}{\diagup\!\!\!\!x-\diagup\!\!\!\!4} }\\\\\\\displaystyle \mathsf{\lim_{x \to 4} ~x+4}$


Agora podemos resolver o limite...


$\displaystyle \mathsf{\lim_{x \to 4} ~x+4~=~4+4~=~\boxed{8}}\\\\\\\displaystyle \boxed{\mathsf{\lim_{x \to 4} ~ \frac{x^2-16}{x-4}~=~8 }}$





B)


$\displaystyle \mathsf{\lim_{x \to 3} ~ \frac{x^2-2x-3}{x-3} }$


Nesse item, é o mesmo princípio do anterior, temos que escapar da indeterminação. Vamos então fatorar o polinômio.

Por Bhaskara

x² - 2x - 3 = 0

Δ = (-2)² - 4*1*(-3)
Δ = 16

$\displaystyle \mathsf{X= \frac{-(-2)\pm \sqrt{16} }{2\cdot 1} }\\\\\\\mathsf{X_1= \frac{2-4}{2} \qquad\qquad \Longrightarrow \boxed{X_1~=~ -1 }}\\\\\\\\\\ \mathsf{X_2= \frac{2+4}{2} \qquad\qquad \Longrightarrow \boxed{X_2~=~ 3 }}$



A forma fatorada do polinômio fica sendo:

(x + 1)*(x-3)



Substituindo no limite


$\displaystyle \mathsf{\lim_{x \to 3} ~ \frac{(x+1)\cdot(x-3)}{x-3} }$


Cancelando os termos (x-3)

$\displaystyle \mathsf{\lim_{x \to 3} ~ \frac{(x+1)\cdot(\diagup\!\!\!\!x-\diagup\!\!\!\!3)}{\diagup\!\!\!\!x-\diagup\!\!\!\!3} }$


Resolvendo o limite


$\displaystyle \mathsf{\lim_{x \to 3} ~ x+1~=~3+1~=~\boxed{4} }\\\\\\\\\boxed{\mathsf{\lim_{x \to 3} ~ \frac{x^2-2x-3}{x-3}~=~4 }}$




Observação*
Note que só tivemos que fatorar apenas o numerador, mas haverá exercícios que terão que fatorar ambos. E que serão mais trabalhosos, mas, todos seguem esses princípios.*


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