Question

Considere um prisma cuja base é um hexágono regular de lado L e uma pirâmide cuja base é um triângulo equilátero com lados medindo o triplo de L. Se o volume do prisma é o dobro do volume da pirâmide, a altura da pirâmide é:
A) o quádruplo da altura do prisma
B) o triplo da altura do prisma
C) o dobro da altura do prisma
D) igual à altura do prisma

Answer 1

V(prisma) = Ab(prisma) * H(prisma)

V(prisma) ⇒ Volume do prisma;
Ab(prisma) ⇒ Área da base do prisma;
H(prisma) ⇒ Altura do prisma...

V(pir) = Ab(pir) * H(pir) / 3

V(pir) ⇒ Volume da pirâmide;
Ab(pir) ⇒ Área da base da pirâmide;
H(pir) ⇒ Altura da pirâmide...

A(teq) = L² * √3 / 4

A(teq) ⇒ Área do triângulo equilátero;
L ⇒ Lado do triângulo do triângulo equilátero;

Um hexágono regular é composto por 6 triângulos equiláteros. Então, a sua área é :

A(hex) = 6 * A(teq)

A(hex) = 6 * L² * √3 / 4

A(hex) = 3 / 2 * L² * √3 (sendo L o lado do hexágono)
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Base do prisma ⇒

Sendo L o lado da base hexagonal do prisma, como visto, a área da base (Ab(prisma)) é :

Ab(prisma) = 3 / 2 * L² * √3
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Base da pirâmide ⇒

Sendo o lado da base triangular equilátera da pirâmide = 3 * L, então a área de sua base é :

Ab(pir) = (3 * L)² * √3 / 4

Ab(pir) = 9 * L² * √3 / 4
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Volume do prisma ⇒

Sendo Ab(prisma) = 3 / 2 * L² * √3 e H(prisma) a sua altura :

V(prisma) = Ab(prisma) * H(prisma)

V(prisma) = 3 / 2 * L² * √3 * H(prisma)
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Área da pirâmide ⇒

Sendo Ab(pir) = 9 * L² * √3 / 4 e H(pir) a altura da pirâmide :

V(pir) = Ab(pir) * H(pir) / 3

V(pir) = 9 * L² * √3 / 4 * H(pir) / 3

V(pir) = 3 * L² * √3 / 4 * H(pir)
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Do enunciado, V(prisma) = 2 * V(pir) ⇒

V(prisma) = 2 * V(pir)

3 / 2 * L² * √3 * H(prisma) = 2 * 3 * L² * √3 / 4 * H(pir)

3 / 2 * L² * √3 * H(prisma) = 3 * L² * √3 / 2 * H(pir)

Cancelando os termos, ficamos com :

H(prisma) = H(pir)

Logo, as alturas do prisma e da pirâmide são iguais são iguais (alternativa "D)").