Question

o gráfico da figura a função y = cos x, no intervalo [0,2π]:

a) sabendo que área limitada por uma função e pelo eixo dos X num intervalo [a,b] é igual ao valor da integral A = $\int\limits^a_b {f (x)} \, dx$, determine toda a área sombreada.
b) calculando A = $\int\limits^a_b {cos x} \, dx$, qual o motivo pelo qual essa área da 0, sendo que olhando o gráfico, concluímos que esse resultado não é correto?

Answer 1

Calculando o valor da área total em intervalos separados, obteremos:

A1 = [0,π/2] ∫cosx dx = sen π/2 - sen 0 = 1

A2 = [π/2, 3π/2] ∫cosx dx = sen 3π/2 - sen π/2 = -1 - 1 = -2

A3 = [3π/2, 2π] ∫cosx dx = sen 2π - sen 3π/2 = 1

Como áreas não podem ser negativas, a área total é 1 + 2 + 1 = 4.

Ao calcular a integral do cosseno de x neste intervalo, obtemos o valor zero pois na integral a área acima do eixo é considerada positiva e a área abaixo do eixo é considerada negativa.