Question

Dadas uma reta r é uma circunferência λ, verifiquem a posição relativa de r e λ. Se houver pontos comuns(tangente ou secante), determinem esses pontos:
a) r: 2×-y+1=0 e λ: x²+y²-2x=0
b) r: y=x e λ: x²+y²+2x-4y-4=0

Answer 1

a) 
r: 2x - y + 1 = 0 


λ : x² + y² - 2x = 0 
x² - 2x + y² = 0 
x² - 2x + 1 - 1 + y² = 0 
(x - 1)² + (y - 0)² = 1 

C(1, 0) 
r = 1 


Distância ponto - reta ⇒ 

d = | ax + by + c | / √(a² + b²) 
d = | 2 . 1 + (-1) . 0 + 1 | / √(2² + 0²) 
d = | 2 + 1 | / √4 
d = | 3 | / 2 
d = 3 / 2 

d > r 
Reta é exterior a circunferência 
__________________________________ 
b) 
r: y = x 
r: y - x = 0 
r: x - y = 0 


λ : x² + y² + 2x - 4y - 4 = 0 
x² + 2x + y² - 4y - 4 = 0 
x² + 2x + 1 - 1 + y² - 4y + 4 - 4 - 4 = 0 
(x + 1)² + (y - 2)² - 9 = 0 
(x + 1)² + (y - 2)² = 9 

C(-1, 2) 
r = 3 


Distância ponto - reta ⇒ 

d = | ax + by + c | / √(a² + b²) 
d = |1 . (-1) + (-1) . 2 + 0 | / √(1² + (-1)²) 
d = | -1 - 2 | / √(1 + 1) 
d = | -3 | / √2 
d = 3 / √2 
d = 3√2 / 2 

d < r 
Reta é Secante a circunferência. 


Pontos de intersecção ⇒ 

{ y = x 
{ x² + y² + 2x - 4y - 4 = 0 

x² + y² + 2x - 4y - 4 = 0 
x² + x² + 2x - 4x - 4 = 0 
2x² - 2x - 4 = 0 
x² - x - 2 = 0 
(x - 2) . (x + 1) = 0 

x' = -1 
x'' = 2 


Quando x = -1 ⇒ 

y = x 
y = -1 


Quando x = 2 ⇒ 

y = x 
y = 2 



Pontos de intersecção ⇒ 

A(-1, -1) 
B(2, 2) 
__________________________________

Answer 2

A reta 2x - y + 1 = 0 e a circunferência x² + y² - 2x = 0 não possuem pontos em comum; A reta y = x e a circunferência x² + y² + 2x - 4y - 4 = 0 possuem dois pontos em comum (-1,-1) e (2,2).

A reta pode ser:

• secante à circunferência
• tangente à circunferência
• exterior à circunferência.

Para a primeira possibilidade, a distância do centro da circunferência à reta tem que ser menor que a medida do raio.

Para a segunda possibilidade, a distância do centro da circunferência à reta tem que ser igual a medida do raio.

Para a terceira possibilidade, a distância do centro da circunferência à reta tem que ser maior que a medida do raio.

a) Dada a equação x² + y² - 2x = 0, temos que:

x² - 2x + 1 + y² = 1

(x - 1)² + y² = 1

ou seja, o centro é (1,0) e o raio é 1.

A distância entre (1,0) e 2x - y + 1 = 0 é igual a:

$d=\frac{|2.1 - 1.0 + 1|}{\sqrt{2^2+(-1)^2}}$

d = 3/√5.

Como 3/√5 > 1, então a reta está no exterior da circunferência. Logo, não há interseção.

b) Sendo x² + y² + 2x - 4y - 4 = 0, temos que:

x² + 2x + 1 + y² - 4y + 4 = 4 + 1 + 4

(x + 1)² + (y - 2)² = 9

ou seja, o centro da circunferência é (-1,2) e o raio é 3.

A distância entre (-1,2) e x - y = 0 é:

$d=\frac{|1.(-1)+(-1).2|}{\sqrt{1^2+(-1)^2}}$

d = 3/√2.

Como 3/√2 < 3, então a reta é secante à circunferência.

Os pontos comuns serão:

x² + x² + 2x - 4x - 4 = 0

2x² - 2x - 4 = 0

x² - x - 2 = 0

(x + 1)(x - 2) = 0

ou seja, (-1,-1) e (2,2).

Para mais informações sobre circunferência, acesse: https://brainly.com.br/tarefa/18759987