Question

Um polinomio P(x) dividido por x dá resto 6 e dividindo por(x-1) dá resto 8.Qual o resto da divisão de P(x)por x (x-1).

Answer 1

Sabemos que P(x) dividido por x, que chamaremos de D(x), o resto é 6.

Logo:

D(x) = x
D(0) = 0

P(0) = 6

Sabemos também que se P(x) dividido por (x - 1), o resto é 8.

Logo:

$\left \{ {{D'(x) = x - 1} \atop {D'(x) = 0}} \right.$

x - 1 = 0
x = 1

Então: 

P(1) = 8


Podemos escrever um polinômio assim:

P(x) = Q(x).D(x) + R(x)

Q(x) -> quociente
D(x) -> divisor
R(x) -> resto

Então podemos escrever que:

P(x) = Q(x).D(x).D'(x) + R(x)

P(x) = Q(x).x(x - 1) + ax + b

OBS.:

Podemos interpretar também que o resto será de grau 1 uma vez que o resto tem, no máximo, um grau a menos que o divisor...

Como nosso divisor é x(x - 1), ou seja, de grau 2; nosso resto tem que possuir no máximo grau 1, que na escrita geral fica: ax + b

Continuando...

Vamos substituir o x por valores que já conhecemos

P(0) = Q(0).0(0 - 1) + a.0 + b

6 = b
.........................................................

P(1) = Q(1).1(1 - 1) + a.1 + b

8 = a + b
8 = a + 6

a = 2
...................................................................

Portanto:

R(x) = 2x + 6