Question

Se a soma dos coeficientes do desenvolvimento do binômio (2x+y)^n for igual a 243, então o número n será:

a)12
b)10
c)8
d)5
e)3

Answer 1

Oi Leiliana,

Como o expoente não está definido, não nos convém calcular termo a termo esse binômio e somar. Ao invés disso, vamos substituir as letras dentro do binômio por 1:
$(2x+y)^n \\ \\ (2*1+1)^n \\ \\ 3^n$

Em um binômio de Newton, quando substituída por 1 as incógnitas, o resultado será a soma de seus coeficientes. Nesse caso, a soma dos coeficientes é 3^n, que, de acordo com o enunciado, é 243. Isso nos leva a uma equação exponencial:
$3^n=243\\\\3^n=3^5\\\\n=5$

Portanto, nesse caso, n vale 5.

Bons estudos!

Answer 2

Se a soma dos coeficientes do desenvolvimento do binômio (2x+y)ⁿ for igual a 243, então o número n será 5. Alternativa D.

Coeficientes do desenvolvimento de um binômio

Podemos descobrir os coeficientes de um binômio pela Pirâmide de Pascal ou usando binômios de Newton, mas a solução desse problema é bem mais simples.

Se substituirmos x e y por 1, teremos a soma dos coeficientes do binômio. Veja:

• (2x + y)¹ ⇒ soma = 2 + 1 = 3
• (2x + y)² =  4x² + 4x + y ⇒ soma = (2 + 1)² = 3² = 9 = 4 + 4 + 1
• (2x + y)³ = 8x³ + 12x²y + 6xy² + y³ ⇒ soma = (2 + 1)³ = 3³ = 27 = 8 + 12 + 6 + 1

Isso ocorre pois no desenvolvimento da potência, eliminamos as variáveis fazendo valerem 1, pois 1 é o elemento neutro da multiplicação.

Assim, precisamos resolver a equação exponencial:

(2 · 1 + 1)ⁿ = 243

3ⁿ = 3⁵

n = 5

Veja mais sobre os coeficientes do desenvolvimento de um binômio em:

https://brainly.com.br/tarefa/30109659

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