Question

Qual a área de um quadrado cuja diagonal mede 40 cm?

Answer 1

Observe que, quando você traça a diagonal (d) de um quadrado, ela forma dois triângulos retângulos, cuja hipotenusa é a própria diagonal (d) e cujos catetos são os lados do quadrado. Vamos, então, chamar os catetos de "a" e "b". Assim, aplicando Pitágoras, temos que:

d² = a² + b²

Mas veja que um quadrado tem todos os 4 lados iguais. Então a = b. Logo, vamos substituir "b" por "a" na expressão acima. Assim:

d² = a² + a²
d² = 2a² ----- substituindo "d' por seu valor, que é 40, temos:

40² = 2a²
1.600 = 2a² ----- dividindo ambos os membros por "2", vamos ficar com:
800 = a² ---- vamos inverter, ficando:
a² = 800
a = ±√(800) ---- veja que 800 = 2⁵ * 5² = 2² * 2² * 2 * 5² . Assim:

a = ±√(2² * 2² * 2 * 5²)

Agora veja: na expressão acima, quem está ao quadrado, e está dentro da raiz quadrada, sai de dentro da raiz. Logo, vamos ficar assim:

a = ± 2*2*5√(2)
a = ± 20√(2) ---- como não há medida negativa para o lado de um quadrado, então tomamos apenas a raiz positiva e igual a

a = 20√(2) cm <--- Esta é a medida do lado do quadrado.

Agora vamos calcular a área desse quadrado. Veja que a área (A) de um quadrado de lado "L" é dada por:

A = L² ----- substituindo "L" pela medida do lado do quadrado encontrada acima, temos:

A = [20√(2)]²

A = 20² * √(2²)
A = 400*√(4) --- veja que √(4) = 2. Assim:
A = 400*2
A = 800 cm² <--- Esta é a resposta. A área do quadrado da sua questão é de 800 cm².

Answer 2

d² = a² + a² 
d² = 2a² ----- substituindo "d' por seu valor, que é 40, temos: 

40² = 2a² 
1.600 = 2a² ----- dividindo ambos os membros por "2", vamos ficar com: 
800 = a² ---- vamos inverter, ficando: 
a² = 800 
a = ±√(800) ---- veja que 800 = 2⁵ * 5² = 2² * 2² * 2 * 5² . Assim: 

a = ±√(2² * 2² * 2 * 5²) 

a = ± 2*2*5√(2) 
a = ± 20√(2) ---- como não há medida negativa para o lado de um quadrado, então tomamos apenas a raiz positiva e igual a 

a = 20√(2) cm <--- Esta é a medida do lado do quadrado. 


A = L² ----- substituindo "L" pela medida do lado do quadrado encontrada acima, temos: 

A = [20√(2)]² 

A = 20² * √(2²) 
A = 400*√(4) --- veja que √(4) = 2. Assim: 
A = 400*2 
A = 800 cm² <--- Esta é a resposta. A área do quadrado da sua questão é de 800 cm². 
  Espero ter ajudado