Respostas
Se f(x)=ax+b => Função do 1º grau ou Afim(gráfico dado através de uma reta) => Temos o COEFICIENTE LINEAR igual a variável "b", que vem a ser o termo independente de x. Ou seja, numa função do 1º grau, apenas em observar a função já sabemos o valor da função quando a reta corta o eixo cartesiano y, pois será igual ao valor de "b" da referida função. Isso porque o eixo y corta o eixo x no seu ponto 0(zero), logo, se substituirmos o valor de x por 0(zero) numa função do 1º grau sobrará apenas o valor de "b".
Já numa função quadrática ou do 2º grau(Gráfico é uma parábola):
f(x)=ax² +bx+c, o coeficiente linear é a variável "c", que vem a ser o valor da função "f(x)" quando a parábola corta o eixo y, pelos mesmos motivos acima supracitados.
Diante do exposto vamos ao seu problema:
f(x)=-2x²+8x(m-2), onde verificamos que é uma função quadrática, concavidade voltada para baixo(o valor de a é negativo), onde a= -2, b=8(m-2) e c= 0.
De imediato, concluímos que o coeficiente linear da função que você propôs é igual a (0)zero, pois c=0.
Numa função quadrática, com concavidade voltada para baixo, que é o caso, a mesma terá o seu maior valor exatamente no seu vértice, enquanto numa função com concavidade voltada para cima o vértice corresponderá ao ponto mínimo.
Daí surge um problema... Você disse que o máximo valor da função é -1. Mas em contrapartida, a função nos mostra que a parábola corta o eixo y(quando x=0) exatamente no ponto 0(zero = c). Logo, se o ponto máximo da função fosse -1, a parábola JAMAIS cortaria o eixo y num valor maior que o seu ponto máximo, que é o caso da função.
Assim, o problema que você propôs não possui solução no conjunto dos números reais(IR).
Talvez, você tenha tido a intenção de escrever:
f(x)=-2x²+8x+(m-2)
onde a=-2, b=8 e c=(m-2).
Se for dessa forma, a resolução é a seguinte:
Δ = b² - 4ac => Δ = (8)² - 4(-2)(m-2) => Δ = 64 - (-8)(m-2) => Δ= 64 - (-8m + 16) => Δ = 64 +8m - 16
Δ = 48 + 8m
Existe uma relação matemática que diz que o Y do vértice(Ponto de máximo,no caso) é igual a:
Yv = -Δ / 4a
Logo,
-1 = -(48 +8m) / 4(-2) => -1 = (- 48 - 8m)/-8 => (-1)*(-8) = -48 -8m = > -48 -8m = 8 => -8m = 8 + 48
-8m = 56 => m = 56/(-8) => m= -7
Assim, m=-7
______________________________________...
No segundo problema que você propõe, temos os seguinte:
f(x)=ax²+bx+c
... Quando escreve-se, por exemplo, f(a) = b, significa que f(x) = b qundo x = a. O termo em parênteses corresponde ao x e o termo depois da igualdade corresponde ao valor da função em questão.
No caso temos:
1º) f(0) = 3, ou seja, quando x = 0, f(x) = 3. Substituindo na função temos:
f(x)=ax²+bx+c => 3 = a(0)² + b(0) +c => 3 = 0 + 0 +c => c = 3
Logo c= 3
2º) f(1) =2. Substituindo na função temos:
f(x)=ax²+bx+c => 2 = a(1)² + b(1) + c => 2 = a + b + 3
a+b = 2 - 3 => a+b = - 1 (Equação I)
3º) f(2) =9. Substituindo também na função temos:
f(x)=ax²+bx+c => 9 = a(2)² + b(2) +c => 9 = 4a + 2b + 3
4a + 2b = 9 - 3 => 4a + 2b = 6 (Equação II)
Temos então um sistema com duas equações:
a + b = -1
4a + 2b = 6
Da Equação I, temos a + b = -1 => a = -1 - b
Substituindo o valor de a na Equação II temos:
4a + 2b = 6 => 4( -1 - b) + 2b= 6 => - 4 - 4b + 2b = 6
- 4b +2b = 6 + 4 => -2b = 10 => b = 10/(-2) => b= -5
Logo, b = -5
Para encontrar o valor de a, substituímos o valor de b encontrador na Equação I:
a + b = -1 => a +(-5) = - 1 => a - 5 = - 1 => a = -1 +5 => a = 4
Logo, a = 4
Assim, todas as variáveis da função foram encontradas, dando condições de representá-la totalmente por:
f(x)= 4x² - 5x + 3
A partir daqui, você encontra todos os valores de função composta que quiser. Exemplo: Se quiser continuar a sequência, por exemplo :
f(3) = 4(3)² - 5(3) + 3 => f(3) = 24
f(4) = 4(4)² - 5(4) + 3 => f(4) = 47
... E assim sucessivamente...
Espero ter ajudado...
Resposta:
V(2; -8)
Explicação passo-a-passo:
Lembrando que a > 0, admite-se a concavidade voltada para baixo.
E a < 0, admite-se a concavidade voltada para cima.
● Raízes ou zeros.
f(x) = 2x² - 8x
2x(x - 4) = 0
2x = 0 ⟶ x = 0/2 ⟶ x = 0
x₁ = 0
(x - 4) = 0 ⟶ x = 4
x₂ = 4
S = { 0; 4 }
Zeros da função: 0 e 4
Os pontos serão, ponto A e B: A(x₁; 0) e B(x₂; 0)
Neste caso: A(0; 0) e B(4; 0)
● Ponto de intersecção que é o ponto C intercepta o eixo "y", que é sempre o valor do coeficiente c da função com o zero da abscissa: C(0; c), que neste caso c = 0. e o outro ponto o D é simétrico ao D, ou seja, estão a mesma distância do 0 o eixo "x". Ponto de intersecção: C(0; 0)
● O vértice da parábola terá a seguinte coordenada: V(Xv; Yv), "x" do vértice e "y" do vértice.
O "x" do vértice será a média aritmética entre os zeros da função: (0 + 4) / 2 = 2 ⟶ Xv = 2
Ou você pode calcular usando a fórmula: -b / (2a).
Para determinar o "y" do vértice basta substituir o valor do Xv na lei de formação: Yv = -8
Ou usando esta fórmula: -Δ / (4a).
Respostas:
Coordenadas:
Zeros da função:
A(0; 0) e B(4; 0)
Pontos de intersecção:
C(0; 0), logo D(0;0), pois é o seu simétrico.
Vértice da parábola:
V(2; -8)