Question

Três máquinas A, B e C produzem 50%, 30% e 20%, respectivamente, do total de peças de uma fábrica.
As porcentagens de produção defeituosa destas máquinas são 3%, 4% e 5%. Se uma peça é selecionada
aleatoriamente, ache a probabilidade de ela ser defeituosa?
Considerando a fábrica do exercício anterior suponha que uma peça selecionada aleatoriamente seja considerada defeituosa. Encontre a probabilidade dela ter sido produzida pela máquina a

Answer 1

Essa questão pode ser resolvida pelo Teorema da Probabilidade Total e Teorema de Bayes. Irei dividir a resolução em partes.

• Questão 06

Nessa questão devemos buscar qual a probabilidade de haverem peças defeituosas no total da produção. Para isso, podemos usar o Teorema da Probabilidade Total, que deve ser usado quando temos muitos eventos diferentes acontecendo, cujos valores alteram a probabilidade de um outro evento. De maneira formal, o Teorema é expresso da seguinte forma:

$\displaystyle P(B)=\sum^n_{i=1}P(A_i\cap B)=\sum^n_{i=1}P(A_i)\cdot P(B|A_i)$

No nosso caso, teremos:

$\left\{\begin{array}{rcccccc}P(A)&=&50\%=0,5&=&\dfrac{1}{2}\\\\ P(B)&=&30\%=0,3&=&\dfrac{3}{10}\\\\ P(C)&=&20\%=0,2&=&\dfrac{1}{5}\end{array}\right.$

$\left\{\begin{array}{rcccccc} P(D|A)&=&3\%&=&0,03&=&\dfrac{3}{100}\\\\ P(D|B)&=&4\%&=&0,04&=&\dfrac{4}{100}\\\\ P(D|C)&=&5\%&=&0,05&=&\dfrac{5}{100}\end{array}\right.$

Onde P(D) refere-se a quantidade total de peças defeituosas e P(D|A), P(D|B) e P(D|C) referem-se a quantidade de peças defeituosas na produção das máquinas A, B e C. Calculando, teremos:

$P(D)=P(A\cap D)+P(B\cap D)+P(C\cap D)\\\\P(D)=P(A)\cdot P(D|A)+P(B)\cdot P(D|B)+P(C)\cdot P(D|C)\\\\P(D)=50\%\cdot3\%+30\%\cdot4\%+20\%\cdot5\%\\\\\\ P(D)=\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{3}{100}+\dfrac{3}{10}\cdot\dfrac{4}{100}+\dfrac{1}{5}\cdot\dfrac{5}{100}\\\\\\ P(D)=\dfrac{3}{200}+\dfrac{12}{1.000}+\dfrac{5}{500}$

Igualando os denominadores das frações, teremos:

$P(D)=\dfrac{3}{200}+\dfrac{12}{1.000}+\dfrac{5}{500}\\\\\\ P(D)=\dfrac{5}{5}\cdot\dfrac{3}{200}+\dfrac{12}{1.000}+\dfrac{2}{2}\cdot\dfrac{5}{500}\\\\\\ P(D)=\dfrac{15}{1.000}+\dfrac{12}{1.000}+\dfrac{10}{1.000}\\\\\\ P(D)=\dfrac{37}{1.000}\\\\\\ P(D)=0,037=3,7\%$

A quantidade de peças defeituosas, P(D), é de 3,7% do total de peças.

• Questão 07

Nessa questão devemos buscar saber a probabilidade de uma determinada peça escolhida ser da máquina A. Para isso, podemos usar o Teorema de Bayes, que deve ser usado quando queremos saber a probabilidade de ocorrência de um evento dado que outro o antecedeu. De maneira formal, o Teorema é expresso da seguinte forma:

$P(A_i|B)=\dfrac{P(A_i\cap B)}{P(B)}$

P(B) refere-se a Probabilidade Total, que adquirimos na outra resolução.

Contextualizando no caso do enunciado, teremos:

$P(A|B)=\dfrac{P(A\cap B)}{P(D)}$

Todos os valores já foram obtidos anteriormente, veja:

$\begin{cases} P(A\cap B)=\dfrac{3}{200}\\\\ P(D)=\dfrac{37}{1.000} \end{cases}$

Vamos aos cálculos.

$P(A|B)=\dfrac{\dfrac{3}{200}}{\dfrac{37}{1.000}}$

Igualando denominadores:

$P(A|B)=\dfrac{\dfrac{3}{200}}{\dfrac{37}{1.000}}\\\\\\ P(A|B)=\dfrac{\dfrac{3}{200}\cdot\dfrac{5}{5}}{\dfrac{37}{1.000}}\\\\\\ P(A|B)=\dfrac{\dfrac{15}{\cancel{1.000}}}{\dfrac{37}{\cancel{1.000}}}\\\\\\ P(A|B)=\dfrac{15}{37}\\\\\\ P(A|B)=0,405405405...\approxeq0,405=40,5\%$

A probabilidade de da peça defeituosa ser da máquina A é 40,5%.