Matéria: Matemática
Autor: admy93
Perguntado 8 anos atrás

Seja N um número natural tal que os números 1671, 1985 e 3084 deixam o mesmo resto quando divididos por N. Nessas condições, determine o maior valor possível para N.

Respostas

respondido por: Anônimo

Se deixam mesmo resto isso quer dizer que a diferença entre os valores nos entregará números divisíveis por n. Então:

Agora, vamos encontrar o MDC entre estes dois números:
1099 / 314 = 3 com resto 157
314 / 157 = 2 com resto 0, portanto, o MDC vale 157.

Então, o maior número natural tal que divida todos os números e dê o mesmo resto é 157.

Testando:
1671 / 157 = 10 com resto 101
1985 / 157 = 12 com resto 101
3084 / 157 = 19 com resto 101

Anônimo: 1671 = x.n + r
1985 = y.n + r
3084 = z.n + r

r = 1671 - xn = 1985 - yn = 3084 - zn

1985 - yn = (1671 - xn) = 314 - yn + xn = 314 + (xn - yn) = 314 + (x-y)*n
3084 - zn = (1671 - xn) = 1413 - zn + xn = 1413 + (xn - zn) = 1413 + (x-z)*n
3084 - zn = (1985 - yn) = 1099 - zn + yn = 1099 + (yn - zn) = 1099 + (y-z)*n

MDC(314,1413,1099) = 157 ← máximo valor de n

Verificação:
1671/157 = _1*157 + 101
1985/157 = 12*157 + 101
3084/157 = 19*157 + 101

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