Question

Considere a sequencia formada pelos números naturais a partir de 1, sendo suprimidos todos os múltiplos de 4:1,2,3,5,6,7,9,10,11,13,14,15...

o 2014º termo desta sequencia é:

Answer 1

Observe que a sequencia pode ser analisada em blocos de 3 números:

1,2,3 - 5,6,7 - 9,10,11 ....

Veja que para se obter 2014 termos precisamos de 671 blocos completos (que resulta na posição 2013º. Claro que o 2014º termo é o próximo.

Veja que os últimos elementos de cada grupo formam uma PA com a1 = 3 e r = 4

Vamos então determinar o 671º termo desta PA:

$a_{671}=3+670*4=2.683$

Como se sabe, o próximo número (2.684 é múltiplo de 4 e não pertence a sequência. Logo o 2014º termo é o 2.685

Answer 2

Temos a sequência: $1,2,3,5,6,7,9,\dots,$, formada pelos números naturais da forma $4n+1$, $4n+2$ e $4n+3$, sendo $n$ um natural.

Observemos que, os números da forma $4n+1$ formam uma PA, onde  $a_1=1$, $a_2=5$, ..., e $a_n=4n+1$.

Por outro lado, a ordem desses números na sequência $1,2,3,5,6,7,9\dots,$ é da forma $3n+1$.

Como queremos o $2~014^{\circ}$ termo dessa sequência, precisamos achar o natural mais próximo de $2~014$ da forma $3n+1$, ou seja, que deixa resto $1$ quando dividido por $3$.

Esse número é o próprio $2014$. Temos $3n+1=2014$, donde, $n=\dfrac{2014-1}{3}=671$. Assim, o $2~014^{\circ}$ dessa sequência é

$4\cdot671+1=2~684+1=2~685$.

Letra A