Question

Seja n um número natural tal que os números 1671, 1985 e 3084 deixam o mesmo resto quando divididos por n. Nessas condições, determine o maior valor possível para n.

Answer 1

Vamos lá.

Veja, TheBest, que a resolução não é tão simples como poderíamos pensar a uma primeira vista.

Vamos tentar fazer tudo passo a passo para um melhor entendimento.

i) Veja que os números 1.671, 1.985 e 3.084, quando divididos por um mesmo número natural "n" deixam sempre o mesmo resto "R".
Note que em toda e qualquer divisão isto ocorre:

D = d*q + R , em que "D" é o dividendo, "d" é o divisor, "q" é o quociente e "R" é o resto.

ii) Então, tendo a relação acima como parâmetro, vamos utilizar cada um dos números dados, que foram: 1.671, 1.985 e 3.084.
Já sabemos que o divisor vai ser o natural "n" e o resto vai ser o mesmo que será "R". Como a divisão de cada número dado por "n" vai ter um quociente diferente, então vamos chamar os quocientes assim:  primeiro quociente de "x" (na divisão de 1.671 por "n"), o segundo quociente de "y" (na divisão de 1.985 por "n") e o terceiro quociente de "z" (na divisão de 3.084 por "n"):

ii.1) Na divisão de 1.671 por "n"

1.671 = n*x + R --- ou, o que é a mesma coisa:
nx + R = 1.671      . (I)

ii.2) Na divisão de 1.985 por "n"

1.985 = n*y + R  --- ou, o que é a mesma coisa:
ny + R = 1.985      . (II)

ii.3) Na divisão de 3.084 por "n"

3.084 = n*z + R  --- ou, o que é a mesma coisa:
nz + R = 3.084     . (III)

iii) Assim, conforme você viu, ficamos com um sistema formado pelas expressões (I), (II) e (III) e que são estas:

nx + R = 1.671      . (I)
ny + R = 1.985     . (II)
nz + R = 3.084     . (III)

iv) Agora vamos multiplicar a expressão (I) por "-1" e, em seguida somaremos, membro a membro, com a expressão (II). Assim teremos:

-nx - R = -1.671  ---- [esta é a expressão (I) multiplicada por "-1"]
ny + R = 1.985 -------- [esta é a expressão (II) normal]
------------------------------- somando membro a membro, teremos:
ny-nx+0 = 314 ---- ou apenas:
ny - nx = 314       . (IV)

v) Vamos fazer o mesmo com a expressão (I) em relação à expressão (III). Então ficaremos:

-nx - R = -1.671 --- [esta é a expressão (I) multiplicada por "-1"]
nz + R = 3.084 ----- [esta é a expressão (III) normal]
-------------------------- somando membro a membro, teremos:
nz-nx+0 = 1.413 --- ou, o que é a mesma coisa:
nz - nx = 1.413     . (V)

vi) Agora multiplicaremos a expressão (II) por "-1" e em seguida somaremos, membro a membro, com a expressão (III). Assim:

-ny - R = -1.985 --- [esta é a expressão (II) multiplicada por "-1"]
nz + R = 3.084 ----- [esta é a expressão (III) normal]
-------------------------- somando membro a membro, teremos:
nz-ny+0 = 1.099 --- ou, o que é a mesma coisa:
nz - ny = 1.099      . (VI)

vii) Agora veja que ficamos com outro sistema, agora formado pelas expressões (IV), (V) e (VI) e que são estas:

ny - nx = 314        . (IV)
nz - nx = 1.413     . (V)
nz - ny = 1.099     . (VI)

vii.1) Agora veja uma coisa interessante: como "n" é o mesmo em todas as três expressões, então poderemos concluir que o maior número natural "n" poderá ser obtido pelo MDC (Máximo Divisor Comum) dos números "314", "1.099" e "1.413". Então vamos calcular esse MDC. Para isso, basta que fatoremos esses três números. Então:

314, 1.099, 1.413|2
157, 1.099, 1.413|3
157, 1.099, ...471|3
157, 1.099, ...157|7
157, ...157, .. 157|157
....1, .......1, ........1|

Assim, como você viu aí em cima na fatoração, o MDC entre os números dados é "157", pois foi o único fator primo que dividiu, SIMULTANEAMENTE, os três números dados. Logo, o número "n" procurado será:

n = 157 <--- Esta é a resposta.

Bem, a resposta já está dada. Vamos, por mera curiosidade, ver se quando dividirmos cada um dos números dados (1.671, 1.985 e 3.084) por "157" vamos obter o mesmo resto. Vamos ver se isso é verdade:

1.671/157 = dá quociente igual a 10 e resto igual a 101, ou seja: 10*157+101 = 1.570+101 = 1.671.

1.985/157 = dá quociente igual a 12 e resto igual a 101, ou seja:
12*157 + 101 = 1.884 + 101 = 1.985.

3.084/157 = dá quociente igual a 19 e resto igual a 101, ou seja:
19*157 + 101 = 2.983+101 = 3.084.

Veja que é verdade que "1.671", "1.985" e "3.084", quando divididos pelo natural "157", deixam restos iguais (já vimos que o resto é"101" em cada divisão efetuada).

É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.