Question

encontre o ponto máximo da função f o g, sendo f e g funções reais tais que g(x)=x+1 e
 f(x)=-x²+3x/2.   A resposta é (1/2, 9/8) resolução, por favor.

Answer 1

Compostando as funções

$(f\circ~g)(x)=f(g(x))\\ \\(f\circ~g)(x)=f(x+1)\\ \\(f\circ~g)(x)= \frac{-x^2+x+2}{2}$

Pode encontrar o ponto máximo derivando ou pela coordenadas do vértice. Vou fazer dos dois modos.

Detalhe vou chamar a (fog) de h(x) e simplificar a composta.

Coordenadas do vértice

$h(x)= -\frac{x^2}{2}+ \frac{x}{2}+1\\ \\\Delta= \frac{9}{4}$

Xv

$Xv= \frac{-b}{2a} \\ \\Xv=\frac{-(- \frac{1}{2} )}{2*(- \frac{1}{2} )} \\ \\\boxed{Xv= \frac{1}{2} }$

Yv

$Yv= \frac{-\Delta}{4a} \\ \\Yv= \frac{- \frac{9}{4} }{4*(- \frac{1}{2} )} \\ \\\boxed{Yv= \frac{9}{8} }$

Portanto, o ponto máximo ou crítico é 

$\boxed{\boxed{\therefore~V( \frac{1}{2}, \frac{9}{8} )}}$

Pelo método da derivação

$h(x)= -\frac{x^2}{2}+ \frac{x}{2} +1\\ \\h'(x)=-x+ \frac{1}{2} \\ \\h'(x)=0\\ \\-x+ \frac{1}{2} =0\\ \\\boxed{x= \frac{1}{2} }$

aplicando na h(x)

$h(x)= -\frac{x^2}{2}+ \frac{x}{2} +1\\ \\h( \frac{1}{2} )= -\frac{( \frac{1}{2} )^2}{2}+ \frac{( \frac{1}{2} )}{2} +1\\ \\\boxed{h( \frac{1}{2} )= \frac{9}{8} }$

As coordenadas são

$\boxed{\boxed{\therefore~P( \frac{1}{2}, \frac{9}{8} )}}$

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Temos :

$g(x)=x+1\\ \\f(x)= \frac{-x^2+3x}{2}$

usando a definição

$(f\circ~g)(x)=f(g(x))\\ \\(f\circ~g)(x)=f(x+1)$

AGORA FOQUE SUA ATENÇÃO AQUI →  f(x+1) 

oque a Função f(x) faz com o x ?

$f(x)= \frac{-x^2+3x}{2}\\ \\\boxed{f(x+1)= \frac{-(x+1)^2+3(x+1)}{2} }\\ \\ \\f(x+1)= \frac{-(x^2+2x+1)+3x+3}{2} \\ \\f(x+1)= \frac{-x^2-2x-1+3x+3}{2} \\ \\f(x+1)= \frac{-x^2+x+2}{2} \\ \\\boxed{\boxed{f(x+1)= \frac{-x^2}{2}+ \frac{x}{2}+1 }}$

É isso