Question

Em uma progressão aritmética de termos positivos, os três primeiros termos são 1 - a, -a, √11 - a. O 4° termo dessa PA é:

Observação: no 3º termo o 11 - a está dentro da raiz.

Por favor responda detalhado :)

Answer 1

Proposição:

Dada uma PA de razão r tal que a,b,c são termos consecutivos dessa PA.Então:

b=(a+c)/2

Ou seja: em qualquer PA,o termo mediano em uma sequência de três termos consecutivos é igual a média aritmética dos outros dois.

Exemplo:

Considere a PA:

(1,2,3...)

Veja que 2=(1+3)/2

Logo,em relação ao problema dado,podemos dizer que:

-a=(1-a+√(11-a))/2 => -2a=1-a+√(11-a) => -a-1=√(11-a) 

Elevando ambos os membros ao quadrado,temos que:

a²+2a+1=11-a => a²+3a-10=0

Encontramos uma equação do segundo grau que vamos resolver pelo delta.

Δ=9+40=49 => √Δ=7

Sejam a',a" as raízes:

a'=(-3+7)/2=2
a"=(-3-7)/2 = -5

Então,temos duas configurações possíveis para essa `PA:

{-1,2,3...}

Veja que esta opção não é válida,pois essa sequência não é uma PA.

Ou:

{4,5,6...}

Essa sim é uma PA de razão igual a 1.Logo,esta é a configuração correta e o quarto termo será (a4):

a4=6+(1)=7 <--- esta é a resposta

Obs:

A PA também poderia ser (6,5,4...).Porém,tal sequência apresentaria termos negativos,o que não condiz com o enunciado.