Question

O sistema abaixo:




$\left \{\begin{array}{ccc}5x+3y-8z=13\\4x-5y+4z=18\\7x-2y-7z=20\end{array}$


      a) só apresenta a solução trivial;

      b) é possível e determinado não tendo solução trivial;

      c) é possível e indeterminado;

      d) é impossível;

      e) admite a solução (1; 2; 1)

Answer 1

Oi Kelsomendes,

Podemos aplicar o método da determinante do sistema, encontrando o seu valor D e comparando:
Caso D = 0, o sistema é impossível ou possível e indeterminado.
Caso D = ≠ 0, o sistema é possível e determinado.

$\left[\begin{array}{ccc}5&3&-8\\4&-5&4\\7&-2&-7\end{array}\right] \left\begin{array}{ccc}5&3\\4&-5\\7&-2\end{array}\right\\ \swarrow\:\:\:\:\:\:\swarrow\:\:\:\:\:\:\swarrow\:\:\:\:\:\searrow\:\:\:\:\:\searrow\:\:\:\:\:\searrow\\a_1\:\:\:\:a_2\:\:\:\:\:\:a_3\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:a_4\:\:\:\:\:\:a_5\:\:\:\:\:a_6 \\\\a_1=-280 \\a_2=40 \\a_3=84 \\a_4=175\\a_5=84\\a_6=64 \\ \\ D=-280+447 \\D=167$

Logo, já sabemos que ele é de fato possível e determinado, excluindo as alternativas c) e d). Como esse não é um sistema linear homogêneo (termos independentes = 0), ele não pode aceitar a solução trivial, excluindo a alternativa a). Como também já sabemos que ele não admite solução trivial e é determinado, concluímos que b) é a alternativa correta. (Por curiosidade, você pode testar o terno ordenado da alternativa E), que não verificará a igualdade.)

Bons estudos!

Answer 2

Olá Kelson.

A melhor forma de resolver um sistema linear fazendo sua classificação é usando a regra de Cramer.

Nesse caso basta fazer uma Matriz e calcular o valor do delta.
Já posso afirmar que esse sistema não é trivial, pois ele não é homogêneo.

Para calcular o valor de delta basta fazer o produto da diagonal principal menos o da secundária usando a regra de Sarrus.

$5x+3y-8z=13\\ 4x-5y+4z=18\\ 7x-2y-7z=20\\ \\ \\ \\ \\ \Delta =\begin{vmatrix} 5 & 3 & -8 \\ 4 & -5 & 4 \\ 7 & -2 & -7 \end{vmatrix}\begin{matrix} 5 & 3 \\ 4 & -5 \\ 7 & -2 \end{matrix}\\ \\ \Delta =175+84+64-280+40+84\\ \Delta =447-280\\ \Delta =167$

Ou seja, o delta é maior que 0, então esse sistema será determinado.
Caso o delta fosse igual a 0, ele poderia ser impossível ou Possível e indeterminado.

Para ser classificado como possível e indeterminado o delta e os deltas x,y e z devem ser iguais a 0.

Para ser classificado como Impossível o delta deve ser igual a 0 e os deltas x,y e z devem ser diferentes de 0.

Agora basta calcular o delta X, Y e Z.

Para calcular o delta X basta pegar o valor depois da igualdade e substituir na coluna do x.

$\Delta x=\begin{vmatrix} 13 & 3 & -8 \\ 18 & -5 & 4 \\ 20 & -2 & -7 \end{vmatrix}\begin{matrix} 13 & 3 \\ 18 & -5 \\ 20 & -2 \end{matrix}\\ \\ \Delta x=455+240+288-800+104+378\\ \Delta x=1465-800\\ \Delta x=665$

Agora o delta Y, basta seguir o mesmo raciocínio.

$\Delta y=\begin{vmatrix} 5 & 13 & -8 \\ 4 & 18 & 4 \\ 7 & 20 & -7 \end{vmatrix}\begin{matrix} 5 & 13 \\ 4 & 18 \\ 7 & 20 \end{matrix}\\ \\ \Delta y=-630+364-640+1008-400+364\\ \Delta y=-1670+1736\\ \Delta y=66$

Agora o delta z.

$\Delta z=\begin{vmatrix} 5 & 3 & 13 \\ 4 & -5 & 18 \\ 7 & -2 & 20 \end{vmatrix}\begin{matrix} 5 & 3 \\ 4 & -5 \\ 7 & -2 \end{matrix}\\ \\ \Delta z=-500+378-104+455+108-240\\ \Delta z=-844+941\\ \Delta z=97$

Agora precisamos achar a solução, para ver se confere com a letra E.

Basta dividir o delta pelos valores de x,y e z.

$x=\frac { \Delta x }{ \Delta } \Rightarrow \frac { 665 }{ 167 } \\ \\ y=\frac { \Delta y }{ \Delta } =\frac { 66 }{ 167 } \\ \\ z=\frac { \Delta z }{ \Delta } =\frac { 97 }{ 167 }$


Ou seja, a única solução que satisfaz esse problema é a B, pois temos um sistema possível e determinado e que não é Trivial.