Question

la raiz cubica de 8 y la raiz cubica de 9

Answer 1

∛8 = 2    porque 2³ = 8 (2³ = 2.2.2)
∛9  não é um número racional. Ou seja, você pode chegar em valores aproximados mas nunca no resultado completo.

2³ = 8
3³ = 27

Então ∛9 está mais próxima de 2 do que de 3.


 
Vamos testar o 2,1     2,1³ = 2,1.2,1.2,1 =9,261 
Ultrapassou.. Vamos tentar um número menor: 2,01³ = 8,12
Muito pequeno. Vamos tentar o 2,05³ = 8,61
2,07³ = 8,8869
2,08³ = 8,998
2,09³ = 9,1293 (passou)
Então sabemos que é 2,08_ O próximo número também pode ser encontrado do mesmo jeito.
Existem outros métodos mais complexos mas menos trabalhosos.
Se você estiver fazendo uma prova, você consegue fazer uma boa estimativa com 1 ou 2 casas decimais.


$\sqrt[3]{ \sqrt{ \frac{64}{81} } }$

$\sqrt[3]{ \frac{8}{9} } = \frac{2}{ \sqrt[3]{9}}$

Chegando nisso, você pode transformar a raiz em potência

(Lembra disso? ∛4⁵ = 4 elevado a 5/3)
∛9  = ∛3² =3 elevado a 2/3

Agora pra racionalizar : se fosse raiz quadrada era só multiplicar por outra raiz quadrada que o expoente "virava" 1.
Mas se eu multiplico raiz cúbica por raiz cúbica olha o que acontece;
$3^{ \frac{2}{3}} . 3^{ \frac{2}{3} } = 3^{ \frac{2}{3} + \frac{2}{3} } = 3^{ \frac{4}{3} } = \sqrt[3]{ 3^{4} }$

Como na potência você soma os expoentes, então você multiplica por 3 elevado a 1/3 porque 1/3 + 1/3 = 3/3 = 1

$\frac{ \sqrt[3]{8} }{ \sqrt[3]{9}} = \frac{2}{ 3^{ \frac{2}{3}}}$

$\frac{2}{3^{ \frac{2}{3} }} . \frac{ 3^{ \frac{1}{3} } }{ 3^{ \frac{1}{3}} } = \frac{2 \sqrt[3]{3} }{3}$