Question

O teste de alcoolemia informa a quantidade de álcool no sangue levando em conta fatores como a quantidade e o tipo de bebida ingerida. O Código de Trânsito Brasileiro determina que o limite tolerável de álcool no sangue, para uma pessoa dirigir um automóvel, é de até 0,6 g/L. Suponha que um teste de alcoolemia acusou a presença de 1,8 g/L de álcool no sangue de um indivíduo. A partir do momento em que ele parar de beber, a quantidade, em g/L, de álcool no seu sangue decresce segundo a função Q(t) = 1,8 × 2−0,5t sendo o tempo t medido em horas. a. Quando t = 2, qual é a quantidade de álcool no sangue desse indivíduo? b. Quantas horas após esse indivíduo parar de beber a quantidade de álcool no seu sangue atingirá o limite tolerável para ele poder dirigir? (Use log2 = 0,30 e log3 = 0,47.)?

Answer 1

0,6=1,8*2^-0,5t
0,6/1,8=2^-0,5t
1/3=2^-0,5t
3^-1=2^-0,5t
-1 log 3 = -0,5t log 2
-0,47 = -0,15t
t = 3,13

Answer 2

Quando t = 2, a quantidade de álcool no sangue desse indivíduo é de 0,9 g/L, assim ele podera dirigir 3 horas após esse indivíduo parar de beber.

Do enunciado sabemos que:

• Limite tolerável de álcool no sangue =  0,6 g/L.
• Nivel de álcool no sangue do individuo = 1,8 g/L
• log₂ = 0,30
• log₃ = 0,47

Função da quantidade de álcool no sangue:

$Q(t) = 1,8 * 2^{-0,5t}$

a) Temos que substituir na função t = 2, para determinar  quantidade de álcool no sangue desse indivíduo:

$Q(t) = 1,8 * 2^{-0,5t}\\\\Q_{(2)} = 1,8 * 2^{(-0,5*2)}\\\\Q_{(2)} = 1,8\; *\; 0,5\\\\\boxed{Q_{(2)} = 0,9\;g/L}$

b) Para determinar quantas horas após esse indivíduo parar de beber a quantidade de álcool no seu sangue atingirá o limite tolerável, temos que substituir o valor do limite na função, f(t) = 0,6:

$0,6 = 1,8 * 2^{-0,5t}\\\\\frac{0,6}{1,8} = (\frac{1}{2})^{\frac{t}{2}}\\\\\frac{1}{3} = (\frac{1}{2})^{\frac{t}{2}}\\\\2^{\frac{t}{2}} = 3$

Agora aplicamos a Lei dos logaritmos que diz que:

$Log_{a}x = \frac{log_{b}x}{log_{b}a}$

Substituimos e temos que:

$Log_{2}3 = \frac{t}{2}\\\\\frac{Log_{10}3}{Log_{10} 2} = \frac{t}{2}\\\\\frac{0,47}{0,30} = \frac{t}{2}\\\\t = 1,6\;*\;2\\\\\boxed{t\approx 3 \;horas}$