Question

Sabe-se que o polinômio f(x)= x4-x3-3x2+x+2 é divisível por x2-1. Um outro divisor de f é o polinômio: A)x2-4B)x2+1C)(x+1)²D)(x-2)³E)(x-1)²Alternativa: C, mas pleasee, como faz isso?? 

Answer 1

$f(x)=x^{4}-x^{3}-3x^{2}+x+2$

Vamos dividir o polinômio f(x) por x² - 1 pelo método da chave (Se quiser a imagem da divisão, me fale)

Fazendo a divisão, temos que:
Q(x) = x² - x - 2
R(x) = 0 [Pois f(x) é divisível por x² - 1]

Logo:

$f(x)=Q(x)D(x)+R(x)\\f(x)=(x^{2}-x-2)(x^{2}-1)+0\\f(x)=(x^{2}-x-2)(x^{2}-1)$

As raízes de x² - x - 2 são -1 e 2, logo, podemos escrever x² - x - 2 assim:
$x^{2}-x-2=(x-[-1])(x-2)=(x+1)(x-2)$

Também podemos manipular x² - 1:
$x^{2}-1=x^{2}-1^{2}=(x+1)(x-1)$

Então:

$f(x)=(x^{2}-x-2)(x^{2}-1)\\f(x)=(x+1)(x-2)(x+1)(x-1)\\f(x)=(x+1)^{2}(x-1)(x-2)$

O polinômio é divisível por (x + 1)², (x - 1) e (x - 2)

Letra C