Question

Qual a derivada da Raiz Cúbica de X pela definição?

Answer 1

Assim: 

vou usar o h, mas é a mesma coisa para o delta, por aqui no yahoo resposta é dificil para notação matemática né...rsrs 

Definição de derivada: f ' (x) = lim [ f(x + h) - f(x) ] / h 
h -> 0 
raiz cubica de x é a mesma coisa que x^(1/3) correto, entao temos: 

f ' (x) = lim [ (x+ h)^(1/3) - x^(1/3) ] / h; 
h -> 0 

sabemos em produtos notáveis que: a³ - b³ = (a-b)(a²+ab+b²) considerando (x+ h)^1/3 = a e x^1/3= b, vamos tentar arrumar a equação para que fique nesta forma, então temos: 


f '(x)=lim {[(x+h)^1/3 - x^1/3][(x+h)^2/3+(x+h)^1/3.x^1/3+x^2/3]} 
h -> 0 /{[(x+h)^2/3+(x+h)^1/3.x^1/3+x^2/3].h} 


f '(x)=lim {[(x+h)^3/3 - x^3/3][(x+h)^2/3+(x+h)^1/3.x^1/3+x^2/3]} 
h -> 0 /{[(x+h)^2/3+(x+h)^1/3.x^1/3+x^2/3].h} 


pela propriedade acima temos que: 

f ' (x)= lim { [(x+ h)^(3/3) - x^(3/3)].} /{[(x+h)^2/3+(x+h)^1/3.x^1/3+x^2/3].h}; 
h -> 0 
f ' (x)= lim { h } /{[(x+h)^2/3+(x+h)^1/3.x^1/3+x^2/3].h}; 
h -> 0 

f ' (x)= lim 1 / {[(x+h)^2/3+(x+h)^1/3.x^1/3+x^2/3]}; cancelamos o h. 
h -> 0 

f ' (x)= lim 1 / {[(x+h)^2/3+(x+h)^1/3.x^1/3+x^2/3]}; 
h -> 0 

f ' (x)= 1 / {[(x+0)^2/3+(x+0)^1/3.x^1/3+x^2/3]} = 1 / {[(x^2/3+(x+2/3+x^2/3]} 

= 1 / [3 . (x)^2/3] = 1/3 . x^-2/3 finalmente.