Question

Dê o conjunto solução da equação x^4-x^3-11x^2-x-12=0

Answer 1

Pede-se o conjunto-solução da equação abaixo, sabendo-se que uma das raízes é igual a "i" : 

x^4 - x³ - 11x² - x - 12 = 0 

Veja: se uma raiz é igual a "i", então o conjugado de "i", que é "-i" também será raiz. 
Assim, temos que "i" e "-i" serão raízes da equação acima. 
Se "i" e "-i" são raízes, então a equação dada será divisível pelo produto: (x+i)*(x-i). Veja que esse produto é: 

(x+i)*(x-i) = x² - i² -------veja que i² = -1. Assim: 

x² - i² = x² - (-1) = x² + 1 

Então a equação dada será divisível por x² + 1. Vamos, então, fazer a divisão: 

x^4 - x³ - 11x² - x - 12 |_x²+1_<-----divisor 
---------------------------x²-x -12 <----quociente 
-x^4 - 0x³-x² 
--------------------- 
...0 - x³ - 12x² - x - 12 
.....+ x³ + 0x² + x 
----------------------------- 
.......0 - 12x² - 12 
..........+12x² + 12 
----------------------- 
.............0 ......0 <---Resto zero (era p'ra ser zero mesmo, pois são divisíveis). 

Veja que ficamos com o quociente igual a x² - x - 12. 
Vamos, então calcular as raízes dessa equação: 

x² - x - 12 = 0 -----aplicando Bháskara, temos: 

x = -3 
x = 4 

Assim, a equação tem 4 raízes, sendo duas reais (que são as que encontramos acima) e duas complexas (que são "i" e "-i), ou seja, as raízes são: 

x' = -3 
x'' = 4 
x''' = -i 
x'''' = i 

E assim, a equação dada, quando fatorada em função de suas raízes é: 

x^4 - x³ - 11x² - x - 12 = (x+3)*(x-4)*(x-i)*(x+i)