Question

2) Mostre que se p é par e q é ímpar, então, a diferença q - p é ímpar.

Answer 1

 Sejam $\mathrm{m, n \in \mathbb{Z}_{+}^{\ast}; \, n \geq m}$. Sabemos que se $\mathrm{p}$ é par, então ele pode ser representado da seguinte forma:

$\mathrm{p = 2m}$

 Ademais, se $\mathrm{q}$ é ímpar, então ele é da forma:

$\mathrm{q = 2n + 1}$


 Isto posto, devemos provar que:

$\mathrm{q - p}$

é ímpar.

 Segue,

$\\ \mathsf{q - p = (2n + 1) - 2m} \\\\ \mathsf{q - p = 2n + 1 - 2m} \\\\ \mathsf{q - p = 2 \cdot \underbrace{\mathsf{(n - m)}}_{\in \mathbb{Z}} + 1}$

 Logo, $\mathbf{q - p}$ é ímpar!

Como queríamos demonstrar.