Question

Determine o centro e o raio da circunferência C: x² + y² -6x - 4y - 7 = 0

Answer 1

Vamos lá.

Veja, Bruno, que a resolução é bastante simples.
Vamos tentar fazer tudo passo a passo para um melhor entendimento.

i) A equação reduzida de uma circunferência, que tenha centro em C(x₀; y₀) e raio = r, tem a seguinte conformação:

(x-x₀)² + (y-y₀)² = r²       . (I)

Vamos deixar "guardadinha" a expressão (I) acima, pois vamos precisar dela daqui a pouco.

ii) Agora vamos tomar a expressão da equação da circunferência da sua questão e vamos formar os quadrados. A equação é esta:

x² + y² - 6x - 4y - 7 = 0 ---- para formar os quadrados, vamos ordenar, ficando:
x²-6x + y²-4y - 7 = 0 -----agora formaremos os quadrados, tendo o cuidado de subtrair aqueles valores que serão acrescidos em função da formação dos quadrados. Assim, faremos:

(x-3)² - 9 + (y-2)² - 4 - 7 = 0 ----- ordenando e reduzindo os termos semelhantes, teremos:

(x-3)² + (y-2)² - 20 = 0  --- passando "-20" para o 2º membro, teremos:
(x-3)² + (y-2)² = 20     . (II)

iii) Agora vamos comparar a expressão (II) acima com a expressão (I), que deixamos "guardada" logo no início. Para facilitar a comparação, vamos repetir as duas expressões [a (I) e a (II)]:

(x-x₀)² + (y-y₀)² = r²        . (I)
(x-3)² + (y-2)² = 20        . (II)

Da comparação acima você já conclui, imediatamente, que o centro será:

C(3; 2) e o raio será: r² = 20 ---> r = √(20).

Assim, resumindo, teremos que o centro e o raio da circunferência da sua questão são, respectivamente:

C(3; 2) e r = √(20) <--- Esta é a resposta.

É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.