Question

Considerando o número 201, responda: a) está entre quais quadrados perfeitos consecutivos? b) Sua raiz quadrada está entre quais números inteiros consecutivos??


Matemática

Answer 1

Exemplos[editar | editar código-fonte]

Os primeiros 50 números quadrados são:

12 = 122 = 432 = 942 = 1652 = 2562 = 3672 = 4982 = 6492 = 81102 = 100112 = 121122 = 144132 = 169142 = 196152 = 225162 = 256172 = 289182 = 324192 = 361202 = 400212 = 441222 = 484232 = 529242 = 576252 = 625262 = 676272 = 729282 = 784292 = 841302 = 900312 = 961322 = 1024332 = 1089342 = 1156352 = 1225362 = 1296372 = 1369382 = 1444392 = 1521402 = 1600412 = 1681422 = 1764432 = 1849442 = 1936452 = 2025462 = 2116472 = 2209482 = 2304492 = 2401502 = 2500Faculdades[editar | editar código-fonte]

A partir do número 1 todos os números quadrados resultam duma sucessão matemática.

12 = 122 = 1+3=432 = 4+5=942 = 9+7=1652 = 16+9=2562 = 25+11=3672 = 36+13=4982 = 49+15=6492 = 64+17=81102 = 81+19=100

E assim por diante. O 2º somando deve-se a inicialmente começar como n=1, a seguir n+2=3, n+4=5, n+6=7, e assim por diante; Como visto todos os 2º somandos são números ímpares pelo que se torna muito fácil calcular números quadrados fazendo apenas somas, desde que se pegue numa parte já calculada da sucessão. O 1º somando é sempre o número quadrado anterior. O 2º somando resulta da sucessão n=1, n1=n+2, n2=n1+2, n3=n2+2, assim por diante.

Todos os números quadrados são quadrados devido a serem um valor inteiro possível da àrea de um quadrado sempre que a raíz quadrada do valor da àrea do quadrado for um número inteiro, sendo o valor do resultado da raíz quadrada o valor de qualquer um dos lados do quadrado.

Além do mais, a soma de 2 naturais consecutivos sempre resulta na diferença entre o quadrado dos dois.

1+2=4-1 2+3=9-4 3+4=16-9

Assim, pode-se criar uma generalização da forma:

(n)+(n+1)=(n+1)²-(n)² 2n+1=n²+2n+1-n² 2n+1=2n+1 Propriedades[editar | editar código-fonte]

O número m é um número quadrado se e somente se pode ser representado por um quadrado de lado m:

1² = 12² = 43² = 94² = 165² = 25

A fórmula para o enésimo número quadrado é n2, que é igual a soma dos primeiros n números ímpares ({\displaystyle n^{2}=\sum _{k=1}^{n}(2k-1)}); assim um quadrado (ver figuras acima) resulta do anterior mais um número ímpar de pontos. Por exemplo, 5² = 25 = 1 + 3 + 5 + 7 + 9.

Lagrange provou que todo inteiro positivo é a soma de quatro números inteiros elevados ao quadrado.

Números quadrados pares e ímpares[editar | editar código-fonte]Quadrados de números pares são pares: (2n)2 = 4 n².Quadrados de números ímpares são ímpares: (2n + 1)2 = 4(n2 + n) + 1.

Por consequência, raízes quadradas de quadrados pares são pares e raízes quadradas de quadrados ímpares são ímpares.

Outra forma de se provar que raízes quadradas de quadrados ímpares são ímpares: faça de conta que n² seja ímpar; assim,

n² - 1 é par, masn² - 1 também pode ser escrita como (n+1)(n-1) e, portanto,(n+1)(n-1) é par

Para que (n+1)(n-1) seja par, ao menos um dentre (n+1) e (n-1) tem que ser par. Digamos que n seja par; se n for par, tanto (n+1) quanto (n-1) são ímpares e a proposição não é verdadeira; agora, se n for ímpar, ambos (n+1) e (n-1) são pares e assim a proposição é verificada: se n² é ímpar, n também é ímpar.

Quadrados de números racionais[editar | editar código-fonte]

Uma pergunta que pode ser formulada é a seguinte: seja {\displaystyle N} um número inteiro que não é o quadrado perfeito de outro número inteiro. Será que existe um número racional {\displaystyle {\frac {p}{q}}} tal que {\displaystyle \left({\frac {p}{q}}\right)^{2}=N?}

Para {\displaystyle N=2,} a resposta é negativa, ou seja, a raiz quadrada de 2 é um número irracional. Supõe-se que descoberta da irracionalidade de {\displaystyle {\sqrt {2}}} foi feita por um matemático grego discípulo de Pitágoras.

Uma prova genérica pode ser feita para os demais números, usando, por exemplo, o critério de Eisenstein de irreducibilidade de um polinômio.

Curiosidades[editar | editar código-fonte]

"Todo quadrado perfeito par tem raiz par": 4, 16, 36, etc. são pares e possuem raiz par (2, 4, 6, ...).

PROVA: Suponhamos Q um "quadrado perfeito" (existe X inteiro tal que X2=Q) que seja número par, ou seja, existe um inteiro k tal que Q=2k. Assim temos X2=2k; logo a raiz de Q (ou seja X) é dada por {\displaystyle X={\sqrt {2k}}.} Como trata-se de uma relação de inteiros, 2k precisa ser também um quadrado perfeito, logo 2k é um inteiro, e para que seja um quadrado perfeito requer k=2y^2, ou seja, {\displaystyle X={\sqrt {4y^{2}}}=2y,} portanto um número par.

"Todo quadrado perfeito ímpar tem raiz ímpar": 1, 9, 25, etc. são impares e possuem raiz impar (1, 3, 5, ...).

PROVA: como já provamos para o caso par, pode-se recorrer à prova por absurdo. Se sua raiz quadrada fosse par, o próprio número, contrariamente à hipótese, seria par.